八年级|“整式的乘除”考点精细解读（含分解因式）

12．1   幂的运算

知识点1：同底数幂的乘法

1．aⁿ表示n个相同因式（或因数）a相乘，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，aⁿ的结果叫做幂．

2．同底数幂乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

即：a^m﹒aⁿ＝a^m+n．

特别提醒

(1)进行同底数幂的乘法运算时，要注意单个字母的指数是1，而不是0．

(2)同底数幂相乘，底数不变，指数应相加，不要与合并同类项混淆．

(3)法则a^m·aⁿ=a^m+n(m，n都是正整数)中的a既可以是单项式，还可以是多项式．

如：(a+b) ²·(a+b) ³=(a+b) ⁵

3．对于底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则．

特别提醒

底数互为相反数的两个幂，化为同底数幂的方法如下:

①(a-b)²ⁿ=(b-a)²ⁿ(n为正整数)

②(a-b)^2n-1=-(b-a)^2n-1(n为正整数)．

4．同底数幂的乘法法则的推广:a^m·aⁿ·a^p=a^m+n+p(其中m，n，p都是正整数)．

5．（重点/易错点）此法则也可以逆用，即：a^m+n ＝ a^m﹒aⁿ．

逆用的条件:当幂的指数是和的形式时，可考虑逆用同底数幂的乘法法则，结合已知条件灵活变形，使计算简便．

知识点2：同底数幂的除法

1．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．

2．字母表达式：a^m÷aⁿ=a^m-n(m，n为正整数，且m>n，a≠0)．

3．此法则也可以逆用，即：a^m-n ＝ a^m÷aⁿ（a≠0）．当幂的指数是差的形式时可考虑化为同底数幂相除的形式．

特别提醒

(1)被除式与除式的底数必须相同，且不为0；

(2)当底数互为相反数时，先变形再运用法则计算，例如 (b-a)²=(a-b)²，(b-a)³=-(a-b)³

知识点3：幂的乘方

1．幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

2．字母表达式：(a^m)ⁿ=a^mn(m，n为正整数)．

3．此法则也可以逆用，即幂的乘方法则的逆用，即a^mn=(a^m)ⁿ或a^mn=(aⁿ)^m(m，n为正整数)．

特别提醒

(1) 不要把同底数幂的乘法与幂的乘方混淆，如x²·x³=x²⁺³=x⁵，(x²)³=x^2×3=x⁶．

(2)法则中的底数既可以是单项式，也可以是多项式．

知识点4：积的乘方

1．积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘．

2．字母表达式：  （n是正整数）．

3．此法则也可以逆用，即：aⁿbⁿ ＝（ab）ⁿ．

积的乘方法则逆用的关键是各个幂的指数相同，如果指数不相同，可以先变形，再运用．

特别提醒

(1)积的乘方的底数是几个因式，计算时不能漏掉每一个因式．

(2)当底数含有“-”时，应将其视为“-1”，作为一个因式，防止漏乘．

(-a)ⁿ=(-1)ⁿaⁿ=

知识点5：零指数与负指数

1．零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a⁰＝1（a≠0）．

2．指数幂：任何不等于零的数的﹣p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即：  （  ）

特别提醒

（1）在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0．注意：0⁰，0^-2无意义；

（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：0．0000201＝2．01×10^-5 ．

绝对值小于1的数可记成  的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）．

知识点6：三种“幂的运算法则异同点

（1）共同点：

①法则中的底数不变，只对指数做运算．

②法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）．

③对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立．

（2）不同点：

①同底数幂相乘是指数相加；②幂的乘方是指数相乘；③积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘．

12．2  整式乘法

知识点1：单项式与单项式相乘

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．

特别提醒

（1）积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值．

（2）相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则．

（3）只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

（4）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用．

知识点2：单项式与多项式相乘

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．

即字母表达式:m(a+b+c)= ma+ mb + mc．

特别提醒

(1)分配律的运用:单项式与多项式相乘，根据分配律，用单项式去乘以多项式的每一项，就将其转化为单项式与单项式相乘，不可漏乘项．

(2)乘积中每项的符号的确定:在确定积的每一项的符号时，既要看多项式中每一项的符号，又要看单项式的符号，这样才能正确确定积的每一项的符号．

(3)乘积的项数:非零单项式乘以多项式，乘积仍是多项式，积的项数与所乘多项式的项数相同．

知识点3：多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

即：(m+n)(a+b)＝ma+mb+na+nb．

特别提醒

（1）多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏．

相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项．在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．

（2）多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”．

（3）运算结果中有同类项的要合并同类项．

（4）对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)＝x²+(a+b)x+ab．

知识点4：整式的混合运算

1．进行整式的混合运算时，要看清题中有哪些运算，安排好运算顺序，然后根据相关的法则依次计算；

2．化简求值问题一般是先化简后求值，当直接代入比较困难时，要考虑用整体代入的方法求值．

12．3完全平方公式与平法差公式

知识点1：平方差公式

1．平方差公式：（a+b）(a-b) ＝a²-b²，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差．

2．公式特点：有一项完全相同（相同项就是a），另一项只有符号不同（相反项就是b），结果为相同项的平方减去相反项的平方；

特别提醒

（1）平方差公式关键就是找a、b，a是相同项，b是相反项，平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式．

（2）平方差公式可以逆用，即：a²-b²＝（a+b）(a-b)．

（3）平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（a+b）·(a-b)的形式，然后看a²与b²是否容易计算．

（4）平方差公式连用：如（a+b）(a-b) （a²+b²）＝（a²-b²）（a²+b²）＝a⁴﹣b⁴；

（5）平方差公式几何解释（背景）

知识点2：完全平方公式

1．完全平方公式：

(a+b) ²=a²+2ab +b²；(a﹣b) ² =a²﹣2ab +b²；即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．

2．口诀记忆:首平方，尾平方，乘积两倍在中央．

3．完全平方公式可以逆用，即： a²+2ab +b²=(a+b) ²；a²-2ab +b²=(a﹣b) ²

特别提醒

(1)公式中的字母a，b既可以是单项式，也可以是多项式；

(2)中间项的符号是由左边的“和”或“差”来确定的；

(3)(-a+b)²，(-a-b)²在计算中容易出现符号错误，可做如下变形:(-a+b)²=(b-a)²，(-a-b)²=(a+b)²．

(4)完全平方公式的变形公式：

①a²+b²=(a+b)²-2ab；

②2ab=(a+b)²-(a²+b²)；

③a²+b²=(a-b)²+2ab；

④2ab=(a²+b²)-(a-b)²；

⑤(a-b)²=(a+b)²-4ab；

⑥(a+b)²=(a-b)²+4ab

（5）几何解释（背景）

12．3   整式除法

知识点1：单项式除以单项式的法则

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．

特别提醒

单项式除以单项式可以从以下三个方面入手:1．系数相除；2．同底数幂相除；3．只在被除式中出现的字母连同它的指数一起写下来．

（1）运算过程中要注意单项式系数的符号；

（2）单项式相除的结果仍是单项式；

（3）单个字母的指数是1而不是0；

（4）不是同底数的幂相除时要先化为同底数的幂后再相除；

（5）切勿遗漏只在被除式里出现的字母；

（6）若系数相除结果为带分数，则商的系数要写成假分数的形式．

知识点2：多项式除以单项式的法则

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

特别提醒

(1)基本思想是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，然后把所得的商相加；

(2)多项式除以单项式所得的商仍然是多项式，并且商的项数和原多项式的项数相同；

(3)注意确定商中每一项的符号，“同号得正，异号得负”，多项式中的每一项都包含它的符号；

(4)多项式除以单项式与单项式乘以多项式是互逆运算，因此可用单项式乘以多项式来验证多项式除以单项式的结果是否正确．

12．4  因式分解

知识点1：因式分解的定义

1．把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫多项式的因式分解．

2．因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程．

知识点2：分解因式的基本方法

1．提公因式法

公因式多项式的各项都含有的相同的因式．公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式．公因式的确定方法:

系数：取各项整数系数的最大公约数；

字母：取各项相同的字母；

指数：取各项相同字母的最低次数．

特别提醒

（1）提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简；

（2）多项式中第一项有负号的，要先提取符号．

2．公式法

（1）平方差公式： a²-b²=（a+b）(a-b)．

（2）完全平方公式： a²+2ab +b²=(a+b) ²；a²-2ab +b²=(a﹣b) ²．

特别提醒

(1) 利用平方差公式分解因式结构特征:

①多项式必须是二项式；

②两项的符号相反；

③每一项都能写成平方的形式．

（2）能用完全平方公式公式分解因式的多项式具有的特点:

①该多项式是一个三项式；

②其中有两项是平方式且这两个平方式的符号相同；

③第三项是两个平方项的底数的积的2倍或-2倍．

记忆口诀:首平方，尾平方，积的2倍放中央，首尾平方项符号要一样．

（3）公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式．

（4）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式．

3．因式分解步骤：

因式分解时通常先提公因式，再考虑利用公式，最后检查是否分解彻底，即：一提二套三检查．

特别提醒

（1）若多项式中含有公因式，则先提公因式；

（2）若多项式中没有公因式，则需要考虑用公式法分解因式，直到每个多项式都不能再分解为止．