选自《解析几何高观点、新视野》
一、高观点下的基本结论
解析几何可以归结为“代数化”(方法本质)、“几何分析”(问题本身)、“结论”(作为几何图形的性质),我们享受结论给我们带来的美妙,同时也困惑:阿波罗尼奥斯早在公元前 200 多年著的《圆锥曲线论》就给出了 364 个关于圆锥曲线的定理,那些才是基本的,怎么背,背住了,但面对具体的问题情境常常忘记使用结论,考试增加探究性,就会增加情境的复杂性,把结论隐藏起来,从命题的过程来看:常常就是在结论的基础上,再增加一些其它知识。我们习惯了程序化的运算,也寻思几何分析来优化,通过一些结论高效解题,但却常常忘记模型,其实模型是结论的直观化,几何的模型(结构)往往比代数结构更为简单,所以从最基本的定义出发,考虑曲线中最基本的量、特殊的量,比如:焦半径、焦点弦等,从复杂的图形中抽象出最简单的图形——三角形,得到很多基本模型,而这些涵盖了全国卷的所有考查题目。如果我们把焦点位置一变,又会产生很多新的结论,所以我们不需要全部精准地背住下面的结论,我们需要有的是这个意识,还需要敏锐地感觉到在不同情境中可能出现的差异,比如过椭圆的下顶点 P,做两条直线分别交椭圆与 A,B,
若
直线 AB 过定点 M;
若
直线 AB 也过定点 N,我们需要敏锐地感觉到 M 在 y 轴上,而 N 不一定在 y 轴上。因为在
中取
和取
得到 AB 是关于 y 轴对称的两条直线,所以定点在 y轴上,但这却不适合
,故猜想 N 很可能不在直线上。
运动中的不变性,即性质,亦是结论,所以解析几何中的结论,更倾向于通过图形的运动变化来整合、理解和记忆,比如切线可以视为切点弦的极限,相交弦定理、切割线定理视为同一个定理中交点从圆内运动到圆外,所以它们代数的表达是一致的。对古希腊几何法的质疑产生了解析几何,对前两者的质疑产生了射影几何,一种几何学可以用公理化的方法来构建,也可以把变换群与几何学联系起来,给几何学以新的定义(变换群)。我们把几何问题放在不同的理论中思考,往往更加全面透彻,比如:
过圆锥曲线上一点作两条斜率互为相反数的直线与曲线分别交于另外两点 P,Q,则 PQ 所在直线斜率为定值;
过圆锥曲线上一点做两条斜率和为定值(不为 0)的直线与圆锥曲线分别交于另外两点 P,Q,则直线 PQ 过定点.从代数的角度来理解,
是
的特殊情况,但它们却得到了不同的结论,如果把
中的 P 放在上顶点,我们让斜率变化,我们会得到一系列平行的直线,如果借助射影几何观点:两条平行线会交于无穷远点,此时我们又可以把
整合到中
。
圆锥曲线有统一的定义,那性质常常也是相通的;数量积给出了的横坐标式子与纵坐标式子的和为常数,斜率之积给出了横坐标式子与纵坐标式子的倍数关系,它们通过代数中最基本的运算给出了横坐标式子与纵坐标式子等量关系,更倾向于通过联系、对比和推广来记忆。定点和定值相互“牵连”,过定点常常会产生定值,反之亦是。理解“定”的内在联系,就是深刻理解结论。比如抛物线中直线过焦点,会得到坐标之积为定值,与某个点张角为定值等结论。
三、结论的梳理
