《停车距离问题》教学案例
李雪纯
温州市第八高级中学
一、案例背景
“高中数学建模的教学设计与教学转型”是浙江省高中数学新课程标准的重要内容。为了研究指向核心素养的课堂教学转型，为广大高中青年数学教师搭建更好的课堂教学研究平台，及时交流高中数学的课程改革经验，提升高中数学教师执教能力，因此由省浙江省教育厅研究室组织，由杭州二中承办，开展课堂教学活动评审。本节课案例课题为《停车距离问题》，是课堂教学评审活动的课题之一，并获得浙江省课堂教学评审活动一等奖第一名。本小节是普通高中数学课程标准（2017年版）附录2教学案例与评价案例中的第7个案例，旨在帮助教师更好地理解课程标准的要求，理解数学核心素养与内容、教学、评价、考试命题的关系。内容的编排上，以数学建模的形式，分析影响车辆停车距离问题的主要因素，并结合对应的事实数据，挖掘其中隐含的数学原理。在此基础上，对所建立的模型，进行数据上的优化，使之更契合现实情境。课堂的大部分时间在学生的合作探究数据处理的过程，让学生在课堂有限的时间内体会数学建模的过程，并学会探究，真正体现了学生在学，将课堂还给学生，让学生通过自学、合作学习等途径，培养思维品质，学会分析问题的方法，从而培养核心素养。
二、案例理念
新的数学课程标准数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。本节课的内容是停车距离问题，是一堂具有优秀素材的数学建模课，主要是让学生在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。重点提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算和逻辑推理素养。数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。本节课根据现实背景，建立急刹车的停车距离数学模型，理解数学模型中系数的意义，并根据模型得到的结果，就行车安全提出建议。
其中所对应的具体的核心素养如下：
数学抽象：
根据现实背景，建立急刹车的停车距离数学模型，能够从生活实际中抽象出数学问题，发展学生数学抽象的核心素养。
数学建模：
本节课通过对急刹车停车距离问题的分析，使得学生抽象出具体的数学问题，在探寻问题本质的过程中，体验数学建模的过程，会选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题，发展学生数学建模的核心素养。
数学运算：
在数学建模的过程中，借助某公路局对停车距离问题公布的试验数据，处理数据，从而锻炼数学运算的核心素养。
三、案例描述
【教学目标和目标解析】
知识与技能：
经历从现实问题中确定变量、探寻关系、建立模型、计算系数、分析结果；
能建立数学模型，并了解数学模型中的参数、结论的实际意义。
过程与方法：
能从实际问题中抽象出数学问题，体会数学抽象的核心素养；
能够通过数学运算，分析、处理数据，会选择合适的数学模型表达要解决的数学问题，体会数学运算的核心素养。
情感态度价值观：
在分析处理数据的过程中，能够运用数学思维进行分析，发现情境中的
数学关系，提出数学问题；
在交流过程中，能够用数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象；
培养学生独立思考，团队协作的精神，锻炼学生的自主探究的意志品质，树立科学的学习探索方式，落实数学建模等数学核心素养。
培养学生生命意识：遵守法规尊重生命
【教学问题诊断分析】
本节课是停车距离问题，是物理课中运动学的基本内容，学生在物理课中对物体的运动状态有比较深入的学习，已经具有一定的基本知识。但数学建模课程不同于传统应用习题，学生缺少相应的数学建模活动知识。停车距离问题是对于大多数高中生是能够完成探究过程，是在教师的指导下能够完成的一个非常好的案例。同时，学生习惯于解决一般性的应用题或习题，而缺少整体把握现实情境的分析和处理能力。本节课中，学生应经历确定影响停车距离的主要因素，建立急刹车的停车距离模型，确定参数，分析误差，优化模型，给出应用等几个过程。在影响停车距离的主要因素分析中，让学生明晰为什么选择速度作为主要变量，理解理论背景建立数学模型，并借助误差分析的方法进行模型的优化与应用，升华建模的过程。
【教学重点与难点】
重点：结合理论分析建立数学模型，体会数学建模的过程
难点：在进行数学模型建立时，通过误差分析、数学运算，优化数学模型。
【教学流程】
【教学设计】
（一）生活实际引入
（播放新闻视频）
师：追尾事故往往给人们出行安全带来不少的隐患，那么造成追尾事故的原因是什么呢？
生：没有保持好安全车距
师：在一定的车速下，车辆需要保持多少米的安全距离呢？
师：在我国道路交通安全条例第80条中明确规定，高速公路上，车速超过100公里每小时时，应当与同车道前车保持100米以上的车距。
问题1：这个“100米以上”的依据是什么呢？
师：本节课，我们就带着这个问题，一起来研究安全停车距离问题（板书）
设计意图
1.以新闻视角的形式引出课题，吸引学生的注意力，思考追尾事故多发的社会问题，从而引导抽象出数学问题，让学生自然的体会数学抽象的过程，引导学生关注社会实际情况。
2.通过法律法规的相关规定，结合实际法规提出“保持100米以上”的依据是什么的问题，从而引出停车距离问题，引起学生的思维冲突与关注，引起学生的学习兴趣与好奇心。
（二）联系实际 分析问题
问题2：影响停车距离的因素是什么？（ppt播放）
师：那么这个距离会受到哪些因素的影响呢？
生：车况、路况、天气情况、车速……
追问：其中关键因素是什么？
生：车速（板书）
师：对，就是车速，本节课，我们控制其他影响因素不变，一起探寻停车距离与车速之间的关系，在物理中，我们把这种方法称之为什么？
生：控制变量法
设计意图
停车距离问题是一个多变量问题，研究不同物理量对安全停车距离的影响，使学生明白研究问题的角度可以多样化，要关注到各种因素。但是在研究分析问题时，为了更准确的分析关系，我们往往采用控制变量的方式，抓住主要因素，控制其他因素不变，从而分析实际问题。
师：老师从刚才的新闻事件中进行提炼，模拟了追尾的过程，请你关注车速v，尝试分析停车距离d与行驶速度v的关系。（播放视频）
问题3：如何建立停车距离d关于行驶速度v之间的函数关系？
设计意图
停车距离问题，先从物理角度分析得出确定的函数模型，而且他的运动状态对于具有一定物理基础的高中学生是容易推导给出的。但也要让学生明白，很多实际生活中的问题是没有确定的模型的，那么就要先收集数据，然后分析数据特点，然后从散点图拟合的角度去拟合函数模型。同时，很多实际生活中的问题是应该先分析具体问题背景，从背景出发研究函数模型，这样具有更好的科学依据。
师：同学们通过理论分析（板书），我们可以知道它就是二次函数关系。那现在可以解决上课一开始的问题了吗？
生：还需要求解系数
师：既然方案2更优一些，那么我们把关注点更多的放在它上，请同学们观察点的位置分布，你还有什么新的发现吗？
生：分布在模型图象的两侧，速度小的点分布在下方，速度大的点分布在上方
师：结合同学们刚刚的发现，你还有什么其他模型优化的方式吗？
生：分段、分类
师：我们得到了3种方案模型，再借助最小二乘法则或调整函数类型进行模型的优化。
设计意图
进一步让学生进行模型的优化，通过生活实际中的法律规定，帮助学生理解，对于数学建模而言，我们不仅仅需要从数学理论层面进行误差分析与模型优化，用数据生成通过给定离散型指点的二次样条曲线，还需要结合实际进行调整与优化。
（四）回顾方法提炼策略
问题5：解决停车距离问题主要有哪几个步骤？
师：这就是数学建模的过程
定义：数学建模就是利用数学知识、方法、思想，从一个实际问题出发，将它抽象归结为一个数学问题，在此基础上建立数学模型解决问题的过程。
（五）回归生活解决问题
师：回到上课一开始的问题中来，你认为法规中“100米以上”的依据是什么？
生：当速度达到100公里每小时时，停车距离达到81.8m
师：从数据上，我们得到了81.8m，实际角度分析，可能存在一定误差，现实生活中还可能存在驾驶员违规等现象。法规为了尽可能保证行驶安全，才规定了100米以上的要求。正所谓“道路千万条 行车第一条 行车不规范 亲人泪两行”，老师也希望各位在座的未来驾驶员们能够遵守法规，尊重生命。
师：那么为了更好的使用该模型，人们给出了更加直观的停车距离示意图。
师：（介绍示意图）通过这样的示意图，我们能更方便的找到速度所对应的停车距离。这就是模型的应用，那么还有什么应用呢？请看短片。（视频）
师：人工智能对驾驶有什么作用？
师：人工智能缩短反应距离，实际上就是减小α的值，那么系数β可以通过什么进行改良？
（六）总结
师：本节课我们通过实际问题抽象出数学问题，结合理论背景，借助数学运算体会了数学建模的过程，如果没有理论背景，你打算如何分析？
师：可以借助收集到的数据，画出散点图，再辅助模型的建立与求解。那么数学不仅仅是一门学科，更是未来科技发展中的一个不可或缺的技术，因此我们要以数学的眼光看待世界，用数学的技术发展未来
（七）拓展延伸尝试建模
师：以小组为单位，选择下面给出的生活实际问题，合作讨论尝试建立对应的数学模型并说说分哪几个步骤进行数学建模
①不同身高的未成年男性的体重和身高的模型
②我国在2000年至2018年的人口增长模型
建模竞赛链接（2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛）
《“薄利多销”分析》
《机场的出租车问题》
设计意图
本环节意在让学生能够尝试从生活问题中抽象出数学问题，体会数学建模的过程，体会无物理理论背景情况下的实际问题应如何分析。同时，给学生提供大学生数学建模竞赛的生活问题，引发学生深入研究数学建模的兴趣。
四、案例反思
停车距离问题的研究过程是数学建模的过程，在建模过程中，学生需要根据实际问题进行数据的收集与处理，从而建立相应的模型、优化模型并应用于实际问题。而结合本节课课题的实际情况，引导学生从实际生活中提出问题，结合学生已有的物理理论背景，建立相应的模型再通过数据的处理进行模型的优化，从而解决实际问题。通过本节课的准备与评审活动，我有以下几点反思：
（1）课堂教学模式的变革体会。
相比较传统的“老师讲学生听”的教学模式，近年来，教育工作者们一直在探索更高效的课堂，而合作探究就是探索过程中一个非常有效的课堂模式。通过在课堂教学中设计相应的合作探究环节，使得更多的学生能够参与到课堂中来。这种模式要求授课教师在课前需做好相应的小组分工，在课堂上给出明确的小组合作任务，并给学生充分的时间进行小组合作探究，从而让学生体会、领悟一节课的精髓，提升自主学习、自主归纳的能力。正所谓，授人以鱼不如授人以渔，本节课，结合杭二中学生的特点，我将本节课的重点从数学模型的探究，调整到数据处理与数学模型的优化上来，让学生充分进行探究，分享各种方法在实现数学建模过程中的优与劣，培养数学核心素养，从而提升学生的综合能力。
（2）数学建模课堂的模式探究。
数学建模的传统模式是提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型，在实际生活中确定变量，通过收集到的数据，结合画出的散点图，寻找拟合程度较高的函数模型，再进行模型的分析与优化。
但是根据杭二中高二学生的实际情况，对于停车距离这一问题，学生早已在高一时就掌握了匀减速直线运动与匀速直线运动，对于该实际问题的物理机理非常熟悉，因此，我认为数学建模的过程可以借助物理背景确定数学模型，并将重点落在系数的求解与模型的优化，这样的设计更贴合学生学情，符合学生的最近发展区。
（3）本节课的不足。
本节课堂在时间的把控上，我认为还是需要有所提高的，在教学设计的最后，我还做了“延伸拓展尝试建模”的应用设计，希望让学生能够通过其中给出的课题，回顾数学建模的过程，并链接高教社杯大学生数学建模竞赛，给学生拓宽视野，对数学建模产生更浓厚的兴趣。但是作为一名青年教师，我的教学经验还有很多的不足，还需要有更多深入的学习与提升。希望通过此次比赛，我能够更关注自身平时的课堂，多多学习其他优秀教师的长处，继续在教学的道路上砥砺前行。