中考数学压轴题分析：代数法解最短路径问题

最短路径问题常用对称进行作图解决。

本题也是一道与线段最值有关的问题，通过转化为二次函数来求解。

当然，本题还蕴含了一道课本的变式模型。

本题比较典型，值得大家仔细研究。

本文选自2020年鞍山市中考数学倒数第2题。

【中考真题】

（2020·鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．

（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．
①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是___，位置关系是___；
②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．
【分析】

题（1）①判断数量关系与位置关系，直接用尺规即可测得。证明方法主要通过全等的方式。在正方形中包含十字形的，容易得到全等。再利用平行四边形的性质可以得到结论。

至于题②在延长线上，本质也是一样的。所以结论仍然成立。

题（2）的难点在于图形变成了矩形，那么就没有之前的全等了。不过没有全等但是可以得到相似。根据相似可以得到AE仍然与BF和EH都垂直，要求GM的最小值可以适当转化一下。

因为点M是特殊点，也就是对角线的中点。那么可以延长GM交EH于点N，连接NF，可以发现这里面有一个矩形。利用矩形对角线的性质，可以得到GM=1/2EF，所以就转化Wie求EF的长度最小值了。

此时可以设BE=x，然后表示出CE、CF的长度，利用勾股定理得到EF的长度，然后GM的最小值就不难求了。（当然，可以发现△GEF始终是直角三角形，GM是直径EF的一半，只需要直径最小即可）

【参考答案】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，即∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，又AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH，
故答案为：相等；垂直；
②成立，理由如下：
当点E在线段BC的延长线上时，
同理可得：△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH；
（2）∵∠EGF＝∠BCD＝90°，
∴C、E、G、F四点共圆，
∵四边形BEHF是平行四边形，M为BH中点，
∴M也是EF中点，
∴M是四边形GECF外接圆圆心，
则GM的最小值为圆M半径的最小值，
∵AB＝3，BC＝2，
设BE＝x，则CE＝2﹣x，
同（1）可得：∠CBF＝∠BAE，
又∵∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即，
∴CF，
∴EF，
设y，
当x时，y取最小值，
∴EF的最小值为，
故GM的最小值为．

备注：参考答案源自菁优网。