高中数学，求两个动向量乘积最小值？记住这些，压轴题变送分题

原题

原题：如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60度，D，E分别是边AB，AC上的点，AE=1，且向量AD·向量AE=1/2，则|AD|=？

若P是线段DE上的一个动点，则向量BP·向量CP的最小值为多少？

图一

这道题主要是求两个动向量乘积的最小值，相当是两个变量求最小值的情况。

对于这样的题在求不等式的时候我们是常见的，但一般都是通过不等式的变形将两个变量转化成一个变量的形式去求其最小值。

这里也存在同样的思想——将两个变量转化成一个变量的形式。

但是唯一不同的是不等式将两个变化转化的过程中，有明确的已知条件和使用的基本不等式，而在向量中就似乎看不到什么已知和使用的公式，其实它们都是存在的。

下面就讲解的过程详细地说明该题的解法。

第一问

第一问是求向量AD的模长，即线段AD的长度。

这一问比较简单，只需要找到关于AD的关系式进行求解即可。

因为向量AD·向量AE=1/2，且向量AD·向量AE=|AD|·|AE|·cos∠BAC，所以|AD|·|AE|·cos∠BAC=1/2.

因为AE=1，∠BAC=60度，所有|AD|·1·cos60度=1/2，解得到|AD|=1。

在三角形ADE中，根据余弦定理DE=1，所以三角形ADE是等边三角形。

第二问

第二问是求动向量BP和动向量CP的乘积的最小值。

其实求向量乘积的最小值和其他函数求最小值的情况基本相同。

向量中隐藏的公式就是向量三角形的加法法则和向量平行四边形加法法则，这些法则就是将向量转化的工具。

图二

因为向量BP和向量CP是动向量，要想求它们乘积的最小值，就要将其转化。

在三角形BDP中，根据向量三角形加法法则有向量BP=向量BD+向量DP；

在三角形CEP中，根据向量三角形加法法则有向量CP=向量CE+向量EP。

所以向量BP·向量CP=(向量BD+向量DP)(向量CE+向量EP)

=向量BD·向量CE+向量BD·向量EP+向量DP·向量CE+向量DP·向量EP

因为向量BD和向量CE的夹角就是∠BAC，因为∠BAC=60度，所以向量BD和向量CE的夹角就是60度，因为AB=3，AC=2，AE=1，由第一问知AD=1，所以BD=2，CE=1，所以向量BD·向量CE=|BD|·|CE|·cos∠BAC=2×1×1/2=1；

因为向量BD和向量EP的夹角是∠BDE，因为∠BDE是三角形ADE的外角，且三角形ADE是等边三角形，所以∠BDE=120度，BD=2，所以向量BD·向量EP=|BD|·|EP|·cos∠BDE=－|EP|；

因为向量DP和向量CE的夹角是∠DEC，∠DEC也是三角形ADE的外角，所以∠DEC=120度，且CE=1，所以向量DP·向量CE=|DP|·|CE|·cos∠DEC=－|DP|/2；

因为向量DP和向量EP是两个反向向量，所以向量DP·向量EP=－|DP|·|EP|。

综上所述，向量BP·向量CP=1－|EP|－|DP|/2－|DP|·|EP|.

因为|EP|+|DP|=|DE|=1，所以上述的“向量BP·向量CP=1－|EP|－|DP|/2－|DP|·|EP|”中的两个变量|EP|和|DP|的和是定值，所以就可以通过这个定值，将等式“向量BP·向量CP=1－|EP|－|DP|/2－|DP|·|EP|”转化成一个变量的形式。

图三

设|DP|=x，则|EP|=1－x，0<x<1。< p="">

所以向量BP·向量CP=1－|EP|－|DP|/2－|DP|·|EP|=1－1+x－x/2－(1－x)x=x^2－x/2=x^2－x/2+(1/4)^2－(1/4)^2=(x－1/4)^2－1/16.

即，当x=1/4时，向量BP·向量CP取最小值－1/16.

总结

对于向量很多同学都不是很理解，甚至不知道该如何入手，其实向量也和实数一样都有自己转化的公式和对应的关系，要想学好向量就要将向量中存在的所有的公式熟练的掌握并能运用到计算之中。

向量题中的很多思路都和实数之间的运算思路是相同，例如，遇到动向量就要将动向量通过向量公式转化成定量的形式去计算。

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