统计力学（43）：9.2 定理的推广（简体字版）
9.2 定理的推广
现在再囘头看看(1)的三条件， 即有限的有效作用距离(甲)，及近距离的互斥(乙)， 及吸引力不可太大(丙)。 (甲)不合则有 远程作用，就无法定“分界区”。(乙)， (丙)不合则可能会有不 稳定的情形，即所有的粒子可能都集合到一小区域去了。有关巨 观极限的问题中，最重要的莫非是以上定理的推广。即把条件放松，看有什么结果。我们略提一两个结果。
(甲)可以略为放松，只要 消失得够快，即 b' data-formula-type='inline-equation'>时，
就行， 是物体所存在的空间度数，一般 。(乙)也可以放松一点，在 时
就行。(丙)不能通融。
但是最重要的作用力却都不合乎这些条件，物质是由核子的 正电和电子的负电作用而成。还有磁二极的作用。这些电磁作用，都是长程作用。而且正负电荷间的作用能在 时为。三个条件，无一适合。杨李定理因而不能直接用来讨论物质的稳定性和巨观极限。以下略提电荷作用和量子性质的效果。
从电磁学的经验，我们知道末抵消的电荷总是会跑到表面上 来。因此，能量及其他量都会和物体的形状有关。因此，只有正 负电相抵消的物体才有巨观极限可言。
量子力学也必须考虑， 否则正、负电子的粒子可以无限制地接近。所有的粒子都集中到一点去了。量子力学指出， 一个粒子被 局限在很小的空间则其动能会加大。这个定理使粒子不集中到一 点去。但是，如果粒子都是合群的， 我们可以想见，粒子虽不集中于 一点， 但仍会集中，巨观极限仍会有问题。我们必须请独占定律来帮 忙，也就是说，必须要有不合群粒子。已经有人证明: 如没有独占定律，每粒子的零点能量会比低，即在时，每粒子的能量趋向。如果所有的负电粒子(或正电粒子，或全部 )为不合群， (粒子种类为有限，否则独占定律仍不管用)，则 每粒子的零点能量才为有限。这些是相当不简单的证明。巨观极限的证明，现在也有相当的成绩 [见 Lebowitz and Lieb (1969)，(Lebowitz, J. L. and E. H. Lieb (1969)Phys. Rev. Lett. 22 631.) Dyson(1967)(Dyson, F. J. (1967) J. Math. Phys. 8 1538. )。 有关严密证明的全盘介绍，见 Griffiths (1972)(Griffiths, R.B. (1972) in Phase Transition and Critical Phenomena Vol. 1, C. Domb and M. S. Green, eds. (Academic Press, New York).)]。基本假设的地位已经是非常的稳固，因为各种严密的分析结果，都没有和事实相矛盾。
最后，我们必须要强调: 对此类严密的分析结果，必须要采取一种谨愼的态度，不能轻易接受它的结论，必须先了解分析中的假设，及各种极限的意义。例如，从杨、李的定理，我们可以下定论: 在一定的温度、人口压下，只能有一种平衡态，不可能有暂稳态的存在。事实上当然是有各种不同的暂稳晶体结构存在，也有过饱和蒸汽存在。这是因为这定理是以基本假设为出发点，且没有考虑时间尺度，只有无限长的时间观测之下，这假设才可能完全正确。所谓严密的证明，是指在假设和结论间，没有作任何近似。而一般的假设 ，都是为求简化而忽略了某些事实。统计力学的基本假设，就是一个过份简化的假设，用途虽广，但并非全能。除了假设之外，某些极限，如体积之类，也要小心 。真实的物体，是有限的。因此，极限的意义必须和事实不相矛盾。常发生的情形是
这个 的意义，就不太清楚。即是最大物体的容积，它的对数也不会大到那里去。虽然从数学的观点 (24)是毫无疑问，十分严密的， 但从物理的观点， (24)是不够严密，颇有疑问的。因此，要了解一个 “严密”的结论，必须对证明的细节，也要特别小心。一 般说来，结论的真义，总是在证明步骤 中出现的。
讨论问题九
1, 第 1 节的证明指出， 一旦 总能函数定了，一切热力性质全定了。这是个严密的证明。这证明也指出基本假设的含糊之处，因 为这证明否定了暂稳态的存在，而我们把暂稳态看成平衡，只 要观测时间不太长。
以石墨和钻石为例，试指出从碳原子群体模型及“严密的证明”，可把钻石的存在否定了。
2, 推导出第 1 节所有的结果。
3, 如果模型是在 度空间，证明细节有何变更? 读者以后可能在文献中遇到 的模型（当然这只是理论上的讨论，有时3' data-formula-type='inline-equation'> 的模型十分有用）。在 时，第 1 节的证明就不合用了。也就是说一般 的统计力学模型，很可能靠不住，因为它的巨观极限有问题。