高中数学 - 双曲线性质及其应用
目标：理解双曲线的定义及其基本性质
1.基础知识回顾：
双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义
①双曲线的第一定义
一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F1、F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线。
分析：对比椭圆的证明过程，得到双曲线的方程，在此过程中学会化解含根式的方程
两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a为双曲线的实轴长，2b为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：
，
②双曲线的第二定义
与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：
，我们将
代入，
可得：
（可以让学生参照椭圆自己先思考 ）
所以有：双曲线的第二定义可描述为：
平面内一个动点（x,y）到定点
(
c,0)的距离与到定直线
(
)的距离之比为常数
的点的轨迹是双曲线，其中，定点
叫做双曲线的焦点，定直线
叫做双曲线的准线，常数
是双曲线的离心率。
1、离心率：
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比
，叫做双曲线的离心率；
（2）范围：
；
（3）双曲线形状与
的关系：
；
因此
越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；
（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；
（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约；
2、准线方程：
对于
来说，相对于左焦点
对应着左准线
，相对于右焦点
对应着右准线
；
位置关系：
，焦点到准线的距离
（也叫焦参数）；
对于
来说，相对于下焦点
对应着下准线
；相对于上焦点
对应着上准线
。
3、双曲线的焦半径：
双曲线上任意一点
与双曲线焦点
的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线
，
是其左右焦点，
， ∴
，∴
；同理
；
即：焦点在
轴上的双曲线的焦半径公式：其中
分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点
同理：焦点在
轴上的双曲线的焦半径公式：
二、双曲线的性质
1、轨迹上一点的取值范围：
（焦点在x轴上）或者
（焦点在y轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a；
B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b。
4、渐近线：
由
，当
所以：双曲线的渐近线方程为：
焦点在x轴：
，焦点在y轴：
5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
右焦半径：r=│ex-a│
左焦半径：r=│ex+a│
6、共轭双曲线
双曲线S:
，双曲线
双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。
特点： （1）共渐近线
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
7. 焦点到一条渐近线的距离
特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要．
三、例题求解：
例1：已知双曲线
的渐近线是
，我们可以判断直线
与双曲线的交点个数
分析：直接用代数法可不可以？用几何法的话会有什么效果
例2 已知直线
与双曲线
有两个不同的交点，试确定
的范围．
分析：是不是直接用代数法就可以解决？要注意渐近线哦
例3 已知双曲线
的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是2倍，则有双曲线的离心率是
分析：很基础的题，用数形结合的思想试试！
例4 双曲线
上一点
与左右焦点
构成
，求
的内切圆与边
的切点
的坐标。
分析：是不是可以设P在双曲线的一支上，根据题干数形结合，得到特殊的几何关系，然后将问题转化
例5 已知
是双曲线
的左右焦点，
在双曲线的左支上，
，
，求
的值
分析：先做出
的内切圆⊙
，则⊙
切
于点
，
等于内切圆的半径。且
，
例6设
是曲线
:
的焦点，
为曲线
:
与
的一个交点，则
的值
分析：利用双曲线及椭圆的定义找出
、
之间的关系。
例7已知
是双曲线
的左右焦点，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于
轴，求双曲线的离心率.
分析：求离心率我们需知道什么？
例8已知双曲线
的左右焦点分别为
若双曲线上存在一点
使得
，求双曲线离心率的范围。
分析：用离心率的求解结合图像
例9已知双曲线
的左右焦点分别为
，以
为直径的圆与双曲线交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。
分析：还是仔细分析图像哦
例10 已知双曲线
的左右焦点分别为
，
为双曲线上任意一点，
的
内角平分线为
，过
的垂线
M，设垂足为
，求点
的轨迹。
分析：轨迹方程的求解
是一种题型，这个题我们怎么得到M的轨迹，它与已知点有什么关系？
例11、已知⊙
：
，⊙
：
，若⊙
与⊙
内切与⊙
外切，求⊙
的圆心的轨迹方程。
分析：P,A,B的位置关系是不是很面熟的感觉？
课堂总结：双曲线的定义是什么？它的常用性质有哪些？如何利用双曲线的性质解题，如何利用数形结合的思想，考虑问题一定要考虑全面，注意特殊情况。
下次精彩预告：抛物线的定义及性质