855皮亚诺的算术,符号创造还是发现?过客与生命之树———读皮亚诺之二

有一首古老的英语民歌,描述走出野蛮的人类最常做的三件事:
Reading, 读啊!
Writing, 写啊!
Rithmetic,算啊!(摘自丹齐克著《数科学的语言》第16页)

这三个最普通的人类行为,都和各个人群所使用的自然语言相关。而算啊!通常就是指的算术运算。这就把我们引向了算术,引向了数学家对于算术基础的研究。刚刚接触过德国的戴德金,现在,我们的算术旅程向东进发,从德国移向意大利,从德国的戴德金东行至意大利的数学家皮亚诺。
皮亚诺的算术理论,看他的那本《用新方法呈现的算术原理》一文,他给出了一套约定符号。皮亚诺的这个符号约定,把我的思路发散开了。如开首的那几句短诗,“读啊!写啊!”所言,这读的写的,常常不就是各自的母语,各种各样的自然语言么?我从算术的语言,很自然地想到了自然语言。
自然语言,包括其文字,其实就是一个约定,自然语言无非是某个共同地域人群,通过约定俗成而用于沟通的工具。无论哪一种自然语言,都是长时期不断通约的结果。到了近现代,国家权力与民族认同的需要,就出现周有光老先生谈论 世界范围内的语言文字时,所言的诸多情形:
新兴国家要求创制文字,多民族国家要求调整文字,文字不适用的国家要求改革文字,国际团体和国际会议要求规定公用文字。(周有光《世界文字发展史》第21页)

这样,语言文字,因权力的参与而需要的约定就更多了。只要是语言文字,也就一概具有“公共”“公用”“共享”的意义在内。由此,因公共圈地的范围不同,而语言文字也就各不相同。周先生没有提到科学家所创制的语言文字,他仅就国家层面讨论自然语言的文字通约。如果把语言文字的范围放得更宽一些,近现代科学的符号体系,其实也是语言的范畴,就像人们把数字看作是科学的语言那样。皮亚诺为算术引入的一套符号结构,不就是一套算数语言么?不过,这个语言需要自然语言在其中同时参和才行,这就如同计算机语言一样,在自然语言基础上构造的计算机语言,才是人们可以理解的专业语言。

一、皮亚诺给最普通的算术做了一套符号语言
数学家给数学做一套语言,布尔的代数和莱布尼兹的普遍语言都是例子。但那不是为最普通的算术做的,为算术做一套公理化的语言系统,直到19世纪末叶,才由皮亚诺做成功。前面谈到自然语言的约定特性,皮亚诺算术语言和自然语言相比,它有约定,却大都并非俗成,其中颇含构建者的智慧。仅就这部分智慧而言,大概才有点“俗成”的味道。皮亚诺的算术语言,它大概是以自然语言为元语言,本身作为对象语言呈现的。这是一套专业化的人工语言,或者说构造的是一套人工符号系统。在这套系统中,容纳着普通算术理论中的种种观念。
算术操作,它已经普通得不能再普通,基础得不能再基础了。竟然还可以用公理化的符号,来构建其更深层的基础。这人类智慧的基础,恐怕就是算术了。所以,还是那本《数科学的语言》一书的第36页中,继续谈到算术时,就有这么一段话:
算术是一切数学的基础,不论纯粹数学还是应用数学。它是一切科学中最有用的;而且也许在人类的知识中,没有哪一门在人群中有更广泛的传播了。

就是在如此之基础的算术本身中,还可以往下往下,往更底层挖掘,这应该是人类智慧的奇观了。
让我们开始浏览一下这种奇观吧。
这套符号约定系统,在皮亚诺公理化算术中,共分为五大部分:
第一部分,序言:算术公理化的由来。
第二部分,给定一套逻辑符号(signs),算术符号,合成符号。
第三部分,命题篇。即逻辑与算术层面的各种命题表达方式,共分七小类描述。
1、命题表达式的形式
2、命题形式与相关词汇的进一步说明。
3、排列出43个属于定理的命题,皮亚诺称之为逻辑命题,这些逻辑命题也可

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