《測圓海鏡》勾股形月川青﹝8﹞及川地夕﹝9﹞之相關恆等式說

《測圓海鏡》勾股形月川青﹝8﹞及川地夕﹝9﹞之相關恆等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形經加減後成一系列之恆等式，本文主要談及第8勾股形月川青相關之等式。因第9勾股形川地夕與月川青全等，故川地夕所涉及之等式與月川青完全相同。

關鍵詞：平弦、平股、平勾、月川青、川地夕

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”之〈識別雜記〉主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形“天地乾”之勾、股及弦長﹝見下圖﹞。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞，或稱之為通勾、通股、通弦，以後者為常用。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形位於天地乾之內，彼等之勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表示，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”：

本文談及之勾股形乃月川青或川地夕﹝見上圖﹞，亦即上兩圖帶藍色之四勾股形，月川青之斜邊“月川”是為上平弦，其直角為 8，以 8 之位置為 “青”，其勾股與弦分別為  a₈、b₈ 與 c₈。川地夕之斜邊“川地”是為下平弦，其直角為 9，以 9 之位置為 “夕”，其勾股與弦分別為  a₉、b₉ 與 c₉。

因為月川青及川地夕兩勾股形全等，所以 a₈ = a₉、b₈ = b₉ 與 c₈ = c₉。《測圓海鏡》並稱兩勾股形之弦為“平弦”，勾為“平勾”及股為“平股”。

為方便起見，本文只談及月川青三邊 a₈、b₈ 與 c₈ 之等式，顯然諸等式於勾股形川地夕亦合用。

以下為月川青勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

平股：b₈ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

平勾：a₈ =

=

( a₁ +b₁ – c₁) 。

平弦：c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

與平弦﹝勾股形月川青 或川地夕﹞有關之等式如下：

平弦上勾股共即平弦虛勾共也。其較則大股內減邊弦也。勾弦共即底勾。其差則明勾也。股弦共即邊勾。其較則

勾也。弦較共即大差勾。其較則小差勾也。三事和即大勾。其較則虛勾也。又為大差上股弦較。又為

弦上弦較和。

以下為各條目之証明：

平弦上勾股共即平弦虛勾共也。

共，和也。

平弦上勾股共 = a₈ + b₈=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

( a₁ + b₁ – c₁)(

+ 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)。

已知虛勾 = a₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

平弦虛勾共 = c₈ + a₁₃=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁) 。

注意：(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)² 乃《測圓海鏡》之重要恆等式。

所以平弦上勾股共 = 平弦虛勾共。

其較則大股內減邊弦也。

“其較”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(1 –

)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

(b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁) 。

已知大股 = b₁，邊弦 = c₂=

(c₁ + b₁ – a₁) 。

大股內減邊弦 = b₁ –

(c₁ + b₁ – a₁)

=

(2b₁² – c₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

=

(2b₁² – b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

=

(b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁) 。

所以平弦上勾股較 = 大股內減邊弦。

勾弦共即底勾。

平弦上勾弦共 = c₈ + a₈=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

=

[b₁ – (c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

=

[b₁c₁ + b₁a₁ – (c₁² – a₁²)]

=

[b₁c₁ + b₁a₁ – b₁²]

=

(a₁ – b₁ + c₁) 。

已知底勾即日地北之勾，底勾 = a₃= a₁ –

(a₁ + b₁ – c₁) =

(a₁ – b₁ + c₁) 。

上式與前式相同，所以平弦上勾弦共 = 底勾。

其差則明勾也。

“其差”指平弦上勾弦差。

平弦上勾弦差 =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁) 。

明勾屬日月南之勾，明勾 = a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

所以平弦上勾弦差 = 明勾。

股弦共即邊勾。

平弦上股弦共 =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

+ 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + c₁)

=

(a₁b₁ + a₁c₁ + b₁² – c₁²)

=

(a₁b₁ + a₁c₁ – a₁²)

=

(c₁ + b₁ – a₁) 。

已知邊勾乃天川西之勾 = a₂ =

(c₁ + b₁ – a₁) 。

所以平弦上股弦共 = 邊勾。

其較則

勾也。

“其較”指平弦上股弦較。

平弦上股弦較 =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁) 。

已知

勾乃山川東之勾，

勾 = a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

所以平弦上股弦較 =

勾。

弦較共即大差勾。

平弦上弦較共 ﹝即弦較和﹞= c₈ + b₈– a₈。

c₈ + b₈– a₈

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+ 1 –

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

[b₁ – (c₁ – a₁)](b₁ + c₁ – a₁)

=

[b₁² – (c₁ – a₁)²]

=

[b₁² – c₁² – a₁² + 2c₁a₁]

=

[ – 2a₁² + 2c₁a₁]

=

(c₁ – a₁) 。

已知大差勾指天月坤之勾，而大差勾 = a₁₀=

=

(c₁ – a₁) 。

所以平弦上弦較共 = 大差勾。

其較則小差勾也。

“其較”指平弦上弦較較。平弦上弦較較 = c₈ – (b₈ – a₈)= c₈ – b₈ + a₈。

c₈ – b₈+ a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

– 1 +

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

[a₁ – (c₁ – b₁)](a₁ + c₁ – b₁)

=

[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=

[a₁² – c₁² – b₁² + 2c₁b₁]

=

[– 2b₁² + 2c₁b₁]

=c₁ – b₁。

已知小差勾指天月坤之勾，而小差勾 = a₁₁= a₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

= a₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – b₁。

所以平弦上弦較較 = 小差勾。小差勾亦為通弦上之股弦較。

三事和即大勾。

平弦上三事和 = c₈+ b₈ + a₈，即弦和和。

c₈ + b₈+ a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+ 1 +

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ + c₁)

=

[(a₁ + b₁)² – c₁²]

=

[a₁² + b₁²+ 2a₁b₁ – c₁²]

=

[2a₁b₁]

=a₁ ﹝是為大勾﹞。

所以平弦上三事和 = 大勾。

其較則虛勾也。

“其較”指平弦上三事較。平弦上三事較 = 弦和較 =b₈ + a₈ – c₈。

b₈ + a₈– c₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ 1 +

–

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

注意：(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)² 。

已知虛勾 = a₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以平弦上三事較 = 虛勾。

又為大差上股弦較。

已知大差股 = b₁₀ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = b₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – a₁。

大差弦 = c₁₀=

(c₁ – a₁) 。

大差上股弦較 = c₁₀ –b₁₀ =

(c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(

– 1)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁) 。

所以平弦上三事較 = 大差上股弦較。

又為

弦上弦較和。

弦屬勾股形山川東，其中：

勾 = a₁₅= a₂ – (a₁ + b₁ – c₁) =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

股 = b₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦 = c₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦上弦較和

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)
–

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

+

–

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)[b₁ – (c₁ – a₁)](b₁ + c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)[b₁² – (c₁ – a₁)²]

=

(c₁ – b₁)[b₁² – c₁² –a₁² + 2c₁a₁]

=

(c₁ – b₁)[ – 2a₁² + 2c₁a₁]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)。

所以平弦上三事較 =

弦上弦較和。

以下為《測圓海鏡細草》原文：