用力矩平衡巧析四球叠放情形下的摩擦力问题

1 引言

近日，备课组内对四球叠放问题产生的浓厚的兴趣，并进行了深入的研讨，发现通过巧妙选择旋转轴，利用力矩平衡可以轻松求解摩擦力问题。

2 试题回放

叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为m，相互接触，球与地面间的动摩擦因数均为μ，则：

A. 上方球与下方3个球间均没有弹力

B. 下方三个球与水平地面间均没有摩擦力

C. 水平地面对下方三个球的支持力均为4mg/3

D. 水平地面对下方三个球的摩擦力均为4μmg/3

3 参考解析

对上方球分析可知，小球受重力和下方球的支持力而处于平衡状态，所以上方球一定与下方球有力的作用，故A错误。

下方球由于受上方球斜向下的弹力作用，所以下方球有运动的趋势，故下方球受摩擦力作用，故B错误。

对四个球的整体分析，整体受重力和地面的支持力而处于平衡，所以三个小球受支持力大小为4mg，每个小球受支持力为mg，故C正确。

三个下方小球受到的是静摩擦力，故不能根据滑动摩擦力公式进行计算，故D错误。

答案为：C

4 探究球与球间、球与地面间的摩擦力

连接四球球心，可以得到正四面体，每条棱的中点就是球两两接触的接触点。由几何知识可得，顶部小球对下部小球的压力与竖直方向夹角θ的正弦值和余弦值分别为

以底部任一球A为研究对象，画出其受力分析图。以M点为轴，地面和顶球对A球施加的摩擦力均过轴，顶球对A球压力的大小必然等于地面对A球的支持力与A球自身重力的合成。即

再以球心A为轴，重力与支持力均过轴，地面和顶球对A球施加的摩擦力必然相等。

最后以点E为轴，自身重力、地面支持力和地面摩擦力过轴，顶球对A球的压力与摩擦力的合力必然过轴。则摩擦力必然为

由,正切函数的半角公式可知

由上面几式联立可得，地面和顶球对地球的摩擦力大小相等，且摩擦力的大小为

4 四球叠放稳定的条件

为了保证四球叠放的稳定性，小球与小球之间、小球与地面之间的最大静摩擦因数的最小值分别为

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