确保网球小塔搭建成功的最大静摩擦因数竟然是人们最熟悉的无理数

1 引言

2019年5月18日，中央电视台新闻频道报道了一则十分有趣的消息：格鲁吉亚第比利斯的物理学家安德里亚·罗加瓦教授在不使用任何胶带、胶水和其他黏合剂的情况下，仅仅利用网球表面的摩擦力，成功搭建了一座如图1所示的九层小塔。

央视新闻视频

从视频中可以发现，在构成九层小塔的25个网球中，稳定性最差的其实是处于次顶层位置的三个网球；小塔中的网球越是靠近底部，就越容易保持稳定。顶部的网球对小塔的稳定起到了决定性的作用，当顶部的网球被取下后，九层小塔就自上而下逐层垮塌了。

那么，若要用网球搭成九层高塔，网球表面的最大静摩擦因数至少应该多大呢？

2 探究网球小塔搭建成功的条件

如图1所示，绘制出九层小塔中最上面三层网球的俯视图。其中点G为顶部的球的球心，点A、B、C分别为位于次顶层的三个球的球心，点D、E、F分别为次顶层下面的三个球的球心。

图1小塔最上面三层球的俯视图

利用三角形ADF各边的实际长度与射影长度的关系，可以确定三角形ADF所在平面与水平面的夹角的正弦值和余弦值分别为

利用线段AG的实际长度与射影长度的关系，可以确定线段AG与水平面的夹角的正弦值和余弦值分别为

如图2所示，沿着直线HJI所在方向绘制球A的侧视图。其中点K为球A与顶部球G的接触点投影点，点J为球A与下部球D、F的接触点的投影点。

如果撤去顶部的球G，位于次顶层的球A将以直线J（HI）为轴旋转，失去平衡。当顶部的球G存在时，以直线J（HI）为轴，作用在点A的重力产生逆时针力矩与球G对球A在K点施加的顺时针力矩保持平衡。

图2 侧视图

为了便于分析，可以将顶部球G对球A在接触点K施加的作用力分解为竖直向下的Fy和水平向右的Fx。

由于顶部球G是被三个旋转对称的支撑点支撑的，则顶球G对任一个支撑点施加的竖直向下的分力Fy为

根据力矩平衡条件，可得顶部球G对球A在接触点K施加的水平向右的Fx为

随后，将顶部球G对球A在接触点K施加的作用力的竖直分量Fy和水平分量Fx分别沿着半径方向和切线方向分解，则沿着半径方向的合力就是压力，沿着切线方向上的合力就是摩擦力。

将顶部球G对球A在接触点K施加的作用力摩擦力和压力相比，就得到网球小塔维持平衡的摩擦力条件为

可见，只要网球之间的最大径摩擦因数不小于1.414，网球小塔就能够保持稳定。

3 结论

网球小塔中稳定性最差的是位于次顶层的三个网球，当网球之间的最大静摩擦因数不小于1.414时，网球小塔可以在彼此之间的弹力和静摩擦力的作用下保持稳定；如果网球之间的最大静摩擦因数小于1.414，或者将顶层网球取下，网球小塔将会失去平衡，自上而下依次崩塌。

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