复数背后的直觉——从数学游戏到现实世界，助推人类的发展
复数无处不在。从信号处理和电路分析一直到量子力学和流体力学，虚数单位i似乎主导了工程和物理学中的大多数方程式。但这怎么可能呢？一个像i这样看似任意的数字，在现实世界中没有明显的解释，怎么会有如此大的作用呢？
虚数单位的符号是i，对于电气工程师来说是j，它被定义为负1的平方根。
虚数单位
但是，我们在中学时都学过，我们无法计算负数的平方。的确，当第一次接触到虚数单位的概念时，都会充满疑虑。然而，为了理解它的意义，我将要求你假装忘记你所知道的一切数学知识。我将为你提供一种看待数学科学的额外方式，一种使复数不仅可取而且必要的方式。让我们开始吧！
数学形式主义
数学形式主义是数学哲学的主要理论之一。
根据形式主义，所有的数学都可以简化为运算公式的规则，而不需要参考公式的含义。形式主义者认为，数学符号本身，而不是可能赋予它们的任何意义，才是数学思想的基本对象。
大卫-希尔伯特
关于数学的本质，这是一个非常有趣的观点，首先由大卫-希尔伯特本人提出。根据形式主义，数学可以被认为是一种游戏。我们有一些符号和一些规则来运算它们。利用这些运算规则，我们得出某些句法结构和真理（被称为定理）。没有比这更深的意义了。
这一切的美妙之处在于，我们实际上可以利用我们人类发明的这个“游戏”，即数学，来模拟我们在现实世界中遇到的各种现象。为了描述现实世界中的情况，每次选择使用我们游戏中的哪些句法结构和符号，往往是最困难的部分。
到目前为止，数学在描述世界方面似乎做得很好，我们应该尽可能地发展它。如果我们以某种方式设法找到我们的符号和规则所包含的所有句法真理，那么我们所要做的就是为它们中的每一个找到一个解释，对吗？这正是形式主义者对数学的看法，正如我们将看到的，这种观点将解决在数学中发现的许多 "争议"。
负数
在我们深入研究虚数和复数之前，让我们先思考一下负数的问题。
数学的一个关键方面是解方程。正如我们之前所说，解方程本身并没有什么特别之处，它只是一个游戏。然而，由于在许多现实生活场景中，我们对寻找某个未知量感兴趣。例如，一个物体的速度、传递的能量、在特定位置找到一个粒子的概率等等。因此，我们似乎有理由将这方面的游戏发展下去。
数学是一种游戏
谈到数字，数学中引入的第一种数字是实数正数。我们在我们的小游戏中加入了诸如 "1 "或 "2 "或 "14.5122 "等符号，因为我们看到它们有一个直观的解释。它们可以用来描述各种物理物体的数量。一个袋子里的苹果数量、一个老人的年龄和一个人的身高就是属于这一类的例子。这些符号是许多方程的解，如以下。
x - 20 = 5
6x - 3.1 = 4
x^3+ 4 = 5
然而，正实数并不足以描述所有方程的解。考虑一下我们游戏中的符号如下：
x+ 6 = 4
使用之前的逻辑规则，没有办法得出一个真正的正解。由于我们的游戏中没有一个数学实体来描述这些解，我们将引入一个。让我们称它们为负数。事实上，只定义一个负数就足够了，其他的就很容易了。让我们把 "负数单位 "定义为-1，然后每个负数都等于其正数乘以负数单位。
如果真实的正数在几何上可以被看作是一条从0到正无穷的射线，那么负数就只是这条半线向左的延伸，从0到负无穷。
真实线
我们可以用运算正数的方法来运算负数。此外，我们可以利用它们的定义来摆脱我们游戏中的整个运算，即减法。现在，每当我们看到两个数字的减法时，我们可以用第一个数字的加法和第二个数字的负数来代替它。
例如，5-3与5+（-3）是一样的。
我们在很小的时候就接触到 "负数 "的概念，因此我们认为这是理所当然的，但如果你仔细想想，它们根本不是直观的。在自然界中没有发现负数。你不能说 "那棵树上有负5个苹果"。负数是我们在游戏中加入的实体，目的是为了进化游戏。然后，我们为它们找到了几种解释，以便在我们的现实世界中使用它们。
这些解释是什么？嗯，这取决于。例如，当我们谈论一个物体的速度时，如果答案是一个负数，那么我们就知道它的运动方向与我们最初假设的方向相反。在这种情况下，负数被用来表示方向。另一个例子出现在金融领域。如果我们正在计算一个企业在一段时间内的总收入，而我们在计算的最后发现了一个负数，那么这意味着这个企业实际上正在亏损。在这种情况下，负数表示亏损。对负数的解释还有很多，但这两个是最突出的。
负的速度仅仅意味着物体在向相反的方向前进
虚数和复数
如果你已经理解了我们到目前为止所说的一切，那么你已经可以预见我们将如何处理虚数的概念。考虑一下下面的方程。
x^2 + 1 = 0
这一次，无论是正数还是负数都无法解这个方程。让我们在我们的游戏中增加一些实体来玩。让我们定义一个新的符号i，是负1的平方根。为什么我们要这样定义一个符号呢？因为根据我们既定的游戏规则，这可以解上面的方程。没有更深的含义，就这么简单。
同样，虚数可以使用与实数相同的代数规则进行加法和乘法。i+3i=4i，i*i=-1。我们甚至可以将一个虚数与一个实数相加，得到一个所谓的复数。在加法中使用的实数构成了复数的 "实部"，而虚数则构成了 "虚部"。
复数
从几何学上讲，就像实数一样，我们可以用一条直线来形象化虚数。此外，我们可以将虚线垂直于实线，形成复数平面，每个复数都对应着一个实坐标和一个虚坐标的点。
复数平面
好了，我们已经成功地将虚数单位的概念纳入我们的游戏中。是时候找到一些应用和解释了。
对于初学者来说，复数在电气工程中一直被使用。它们是傅里叶变换的核心，帮助我们分析特定信号的频率成分。此外，在数学中，包括复数在内的拉普拉斯变换帮助我们将微分方程转化为代数方程，使其解更加简单。最后，欧拉公式直接揭示了复数与余弦和正弦的联系，因此，当我们想描述任何类型的振荡时，它们很容易被使用。
关于虚数的一个补充说明是，我们可以把一个实数与虚数单位i的乘法看作是在复数平面内逆时针旋转90度。
i的乘法是复数平面内的旋转
以数字1为例，考虑一下。这个数字与正实数一起位于右侧的实线上。1乘以i，你会得到数字i，从1的初始点旋转90度。再乘以i，我们会得到数字-1，它再次位于实线上。再乘以2次，我们又回到了开始的地方。
复数在现实世界中的一个应用在量子力学中很明显。尽管我们不会在本文中深入研究薛定谔方程（感兴趣可以看这篇文章薛定谔方程，从数学上看经典力学是如何产生量子物理学方程的），但事实证明，只有通过复数，这个我们看似随意引入的概念，我们才能准确地模拟在特定位置找到一个粒子的概率。
量子力学中的薛定谔方程包含虚数单位
尽管复数在现实世界中的直接解释是有限的，但其在数学中的应用是非常重要的。复数在许多情况下使数学变得更加容易。它们帮助我们描述各种现象，例如以非常简洁的方式描述振荡。此外，它们不仅使我们能够更快地解决许多问题（如微分方程），而且使我们能够解决那些我们不可能只用实数对应物来解决的问题。虚数和 "实数 "一样真实和有用。
在本文的最后，我想回答一个你们中的许多人现在可能正在思考的问题。既然复数很有用，为什么不发明一种新的数字？首先，有 "更多种类的数"，叫作四元数和八元数，但它们远没有复数那么被广泛使用。最重要的是，它们是代数封闭的。这意味着所有复杂的多项式方程在C中都有解，即复数的集合。没有一个多项式方程的解不是复数。这被称为 "代数基本定理"，它是由卡尔-弗里德里希-高斯证明的。
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