科学大唠嗑之时空(1)无穷大有多大

科学大唠嗑

张 喆

天津市天文学会会员

天津科技馆科普辅导员

读书会共读老师

这一期咱们来讨论一个纯数学问题,那就是无穷大到底有多大?
有这样一个故事。两个匈牙利贵族决定玩一场游戏,看看谁能说出世界上最大的数。
一个人说:“你先说吧。”
经过几分钟的苦苦思索,第二个贵族终于说出了他能想到的最大的数。
“3”
现在轮到第一个人思考了。一刻钟以后,他说。
“好吧,你赢了。”
当然,这个故事可能只是一个笑话。不过,类似对话在霍屯督人之中可能的确发生过。根据非洲探险家的说法,许多霍屯督部落的语言中没有表示3以上数字的词语。当你向那里的原住民询问他有多少儿子或者杀死过多少敌人时,如果这个数字大于3,他会回答“很多”。
现在,只要在某个数字右边写下足够多的零,我们就可以写出我们希望表示的任意大数字,不知不觉写下一个比宇宙中原子总数还要大的数。这个数字其实已经不小了,它是3×10^74(这是什么意思?留言即可得到答案)。
公元前3世纪,具有伟大头脑的著名科学家阿基米德指出,人们可以写出非常大的数。
阿基米德在著作《数沙者》中提出的大数表示方法与现代科学的大数表示方法类似。他从古希腊算术中最大的数入手,这个数是一万。接着,他引入了一个新数,即一万万,他称之为“亿”或“二级单位”。“亿亿”被称为“三级单位”,“亿亿亿”被称为“四级单位”,依此类推。
大数的受害者之一是印度舍罕王。
根据古老的传说,总理大臣西萨·本·达希尔发明了国际象棋,并且献给了国王。国王想要奖励他。
聪明的总理大臣似乎没有太大的欲望。他跪在国王面前,说道,“陛下,请在棋盘第一格为我摆上一粒小麦,第二格摆上两粒小麦,第三格摆上四粒小麦,第四格摆上八粒小麦,每一格的数量如此加倍。请为我提供足以摆满64格棋盘的小麦。”国王很爽快,答应了他的要求。
计数开始不久,人们很快意识到,即使交出印度所有粮食,国王也无法满足他对西萨·本的承诺。

有些数字虽然看上去很大,但是这些数字仍然是有限的,只要有足够多的时间,我们仍然可以写到最后一位。
不过,有一些真正具有无穷性的数。不管我们花费多少时间,我们写下的数都没有这些数大。例如,“所有数的数量”显然是无穷的,“一条线上所有几何点的数量”也是如此。
像这种无穷大的数字,在数学上经常能碰到,但是没人能真正想象出,无穷大的数字到底有多大。
数学家对无穷大做过很多研究,发现它的性质,跟普通的数字完全不同。
最先思考无穷大这个问题的是一位叫格奥尔格·康托尔的数学家,他提出了一个问题:像1、2、3、100这样的整数,一共有无穷多个;一条线上点的数目,也是无穷多个。那整数的个数和一条线上点的个数,到底哪个更大些呢?你肯定会想,既然都是无穷大了,那还怎么比呢?无处下手嘛。
但数学家还真想出了一个办法,叫“一一对应”。
还记得刚才说的霍屯督人吗,如果他们希望知道自己的财宝箱里有更多的玻璃珠还是更多的铜币。虽然他们只能数到三。但是,他们是否会因此而放弃对于玻璃珠和铜币数量的比较呢?当然不会。
如果足够聪明,他们可以一件一件地比较玻璃珠和铜币。把一个玻璃珠放在一个铜币旁边,把另一个玻璃珠放在另一个铜币旁边,这样一直放下去……如果玻璃珠用光了,铜币还剩下一些,就说明铜币多于玻璃珠。如果铜币用光了,玻璃珠还剩下一些,就说明玻璃珠多于铜币。如果同时用光了,玻璃珠和铜币就一样多。
数学家们在比较两个无穷大的大小的时候,用的就是类似的方法。比如说,奇数和偶数的数目都是无穷的,那奇数和偶数哪个更多呢?你可以用奇数1对应偶数2,奇数3对应偶数4,奇数5对应偶数6……这么一来就会发现,奇偶数可以一一对应,所以奇数的总数和偶数的总数是相等的。这个很容易理解,但如果往下再追问一层,问题就复杂了。
比如说,偶数的总数和整数的总数,哪个更多呢?整数包含了所有的偶数和奇数,所以乍看起来,肯定是整数要比偶数多。但如果你用一一对应的规则来算一下的话,就会发现结论好像不是这样:你看,整数1可以对应偶数2,整数2可以对应偶数4,整数3可以对应偶数6,你可以一直这么对应下去,发现二者刚好是可以一一对应,一个不多一个不少的。
也就是说,整数的数目,跟偶数的数目,其实是一样多的。由此可见,在无穷大的情况下,部分是可以等于整体的,这跟我们的常识很不一样,是违背我们的直觉的。
如果你想形象化地理解这个问题,那可以借助德国数学家希尔伯特提出的一个著名的思想实验,叫——希尔伯特的旅馆。
希尔伯特旅馆是一家拥有无穷个房间的旅馆,而且所有的房间都已经住满了。那如果这时你要去住店,旅馆能不能装得下呢?老板说,可以!我把你安排到1号房间,然后把原来住在1号房的旅客移到2号房间,2号房的旅客移到3号房,3号房的旅客再移到4号房……一直这么移下去,大家就都能有房间住。
那如果说,你不是一个人去住店,而是带了无穷多的人一起去住店,那旅馆能不能住得下呢?答案还是可以。老板可以把1号房的旅客安排到2号房,2号房的旅客安排到4号房,3号房的旅客安排到6号房……这么一直递推下去,所有新来的人都可以住进去。
从“希尔伯特的旅馆”中就能看出,在无穷大的情况下,整体和部分有可能是一样大的。无穷大加上无穷大,还是等于无穷大,日常的数学观念在这里失效了。
那是不是说,所有无穷大的数字都是相等的呢?也不是。我们可以回到刚才康托尔提出的那个问题,整数的个数,和一条线段上的点的个数,哪个更多呢?
继续用一一对应的方法来看一下。我们可以给线段上的每一个点都赋予一个数字,这个数字就是它距离线段一个端点的距离,这很好理解。那这条线段上不光有代表整数的点,还会有代表小数的点,还有代表无限不循环小数的点。如果你用整数去一一对应这些点的话,就会发现,无论你用什么方式,总有一些点是你对不上的。
所以,虽然二者都是无穷大的,但线段上点的数目,要大于整数的数目。也就是说,即使都是无穷大,但不同的无穷大之间也可能存在着大小区分。有些无穷大,就比其他的无穷大要高上一个等级。
目前数学家发现,无穷大数一共有三个等级。
第一级无穷大,就是整数的数目;
第二级无穷大,就是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目。也就是说,一条线段上所有点的数目,跟一个长方形里所有点的数目,或者是一个立方体内所有点的数目,都是一个级别的,是相等的;
第三级无穷大,是所有曲线的形状的数目。就是假如你随手画一条歪歪扭扭的曲线,随便画,你肯定能够画出无穷多种形状的曲线。这些千奇百怪的曲线的总数,是无穷大的,而且是第三级无穷大,是最高等级的无穷大。
直到现在为止,数学家也没有发现比这个无穷大还大的数字。
总结一下,无穷大到底有多大?数学家采用一一对应的方式,对不同的无穷大进行对比后发现,无穷大数字的性质,跟普通的数字完全不同。在无穷大中,整体和部分可以一样大。
但也并不是所有的无穷大都是一样大的,目前科学家一共发现了三级无穷大,比如线段上点的数目,就比所有整数的数目要更大。
下一期咱们来聊聊虚数有什么用,今天的内容就是这些,咱们下期再见。

相关文章链接

天文大事件——金星上发现磷化氢到底意味着什么?

了解《信条》中的物理学以及“演反间时”

爱迪生与特斯拉的电力之战

物质是什么(1)

物质是什么(2)

物质是什么(3)

物质是什么(4)

物质是什么(5)

物质是什么(6)抬杠中诞生的原子弹

物质是什么(7)爱因斯坦最幸福的想法是什么?

物质是什么(8)宇宙里真正的主角是谁?

物质是什么(9)原子是如何被发现的

物质是什么(10)量子测不准是怎么回事

物质是什么(11)量子根本不在意我们给它的定义

物质是什么(12)拼命探索,物质却成为了“幽灵”

物质是什么(13)杨振宁理论被质疑

物质是什么(14)物质真的有质量吗?

物质是什么(15)我知道结果,但是不知道为什么

物质是什么(终篇)物质的终极奥秘终于揭晓

我们真的能改造火星吗?

我们为什么要探索火星?

十亿分之一的幸运

一秒钟和三十八万年

爱因斯坦的幸运(1)

爱因斯坦的幸运(2)

爱因斯坦的幸运(3)

真的有一个掷骰子的老头吗?

木星与土星的千年之舞

“科学大唠嗑”是悦读读书会新增添的一个栏目,每周更新一次,作者是书友们所熟悉的“牧羊人”张喆老师。他曾组织过我们读书会开展天文线下活动,也是《时间简史》、《上帝掷骰子吗?》的领读者。对于天文爱好者,此栏目是一个相当大的福利。对天文还未有过了解的书友们,这也是一次增长天文知识的机会。期待张老师下一次更新!

(0)

相关推荐