面积计算（二十一）

过年七天没有看数学，是不是很想念呀？没关系，贼老师又来了！我们接着讲小学奥数中的面积问题。

我们接着来看正三角形相关的例子。

已知△ABC是正三角形，面积为100，D，E，F分别是三边的中点，已知△ADP、△AFQ、△RBC的面积和为36，求阴影部分的面积。

直接求？

开开开开什么玩笑。

五边形的面积公式都不知道，而如果考虑分成三个三角形，明显不规则啊。

当然，作为家长来说，你完全可以假设△ADP和△AFQ全等，然后取个合适的值，强行解出个答案，但是那一定会很复杂——还是那句话，面积不带根号3，边长就会带一个四次根号，你要计算边长会变得很麻烦。

拿到这种题目一下子没思路是很正常的，不要惊慌——大不了不会做么，当然这样躺平任嘲不是我们的目的。

很多时候家长会怀疑：我自己当学生的时候这些题目未必做得出来，让我怎么教？

事实上，教孩子做数学真不见得要自己能完全做出来。作为小学四五年级的孩子，他们的归纳总结能力是不行的，逻辑分析能力更是不行。很多时候你把路给他们理顺了，剩下的加加减减他们做的比你好。

作为数学专业的研究生导师带学生，有时候给学生的文章自己也不太懂，但是作为导师觉得这个方向很有意思就让学生去把细节搞明白。导师的作用就是根据自己的积累来判断这个方向或者问题是否有意思。同样的，作为家长更多的时候并不是要把所有细节弄明白，关键是要能提出建设性的意见。

像这个题目，家长可以尝试着用初中的方法来解决，只要动笔了就知道还不如用小学方法，而小学的办法无非就是割补法。

在这里，由于DF是中位线，马上可以得到的是△ADF的面积为25。其他的结论暂时得不到，所以接下来我们要考虑的问题应该是：要不要加辅助线，加哪里？

如果需要添加，那一定是考虑等积变换，但是三条中位线以外实在看不出有哪里值得再添加平行线的，如果连接GH，那也不能保证GH是平行于BC的。事实上，在对五边形PQHRG分割成三个三角形之后，你会发现很难做出有效的平行线进行等积的转换。

但是，中位线可是天然的平行线啊！虽然我们加辅助线确实得不到什么有用的等积变换，但是在图中不难看出，△HAB和△GAC的面积是一样的，都等于△ABC的一半！

这样的等积就不是等积了么？家长也许看不出来，但是并不妨碍你告诉孩子往等积方向去考虑。然后我们发现，△HAB和△GAC的面积和减去四边形AGRH以后，就是凹四边形ABRC的面积，这也恰好等于△ABC减去△BRC的面积——即△BRC的面积和四边形AGRH相等。

这肯定是个有用的结论。如果孩子能找到这一步，应该有个大大的鼓励。再接下去呢？

这么好的办法怎么可能只用一次？应该是继续这样加加减减的思路。事实上，题设中三个三角形面积和已经转化成△ADP、△AFQ和四边形AGRH的面积和，等等，只要减去△ADF的面积，不就是我们要的五边形面积么？

所以最后的答案就是：36-100/4=11。

你，会教了么？