共起点向量线性等式的几何意义及应用
本文将探讨共起点向量等式的几何意义及其应用.
因为下面的内容要多次用到“点分有向线段所成的比”这个概念,所以,我们把这个概念介绍一下:若,则称分所成的比为,特别地,若点时线段的中点,则分所成的比为1.
1.共起点三向量线性等式的几何意义
1.1起点可直接消去
当时,,代入得:
即
所以
所以与共线
因为与有公共点
所以三点共线,并且分所成的比为
综上可得
结论1:若,则三点共线,且分所成的比为,分所成的比为;分所成的比为.
因为等式左边的系数和等于零,所以保证了能够消掉点,使得四点向量式变成了三点向量式,从而让原等式的几何意义明显了.
此外,我们遇到较多的等式是,这个等式左右两边的系数和相等,因此,移项后,系数和等于零,于是有
结论2:若,则三点共线,并且分所成的比为.
举两个例子看看:
若,
则或或
若,则;
(对于变形后获得的定比,希望读者从上面的例子里总结出它与原系数的关系.)
1.2起点不可直接消去
如果,
可令,
则
注意到上式中左边系数和为0,根据结论1得,在直线上,且分所成的比为(即).
同理,我们可令,推导出;令,推导出.
因为,
,
,
所以共线,共线,共线
于是上面的结果可以概括为:
结论3:若,直线交于,直线交于,直线交于,则,,.
上面的推导过程,关健一步是令,其实质是将化为向量方程组,进而显性化向量等式的几何意义.所以,只要学会这种处理方法,就不需要记忆结论了.
另外,从结论1和结论3可以看出,无论的值是否为零,如果,且直线交于,直线交于,直线交于,都有,,.
我们看下面的例子:
例1.已知,则________.
解:令,得
消去点得
所以
因为,
所以
所以
所以
从例1的结果看一看出,的面积比等于的系数比,这不是偶然,记(下文同),将例1一般化,有下面的结论:
结论4:若,则.
证明:设直线交线段于点,
因为
由结论3知,分所成的比为,即.
设中边上的高为,则
所以
设
则
所以
同理可证
所以.
即.
证毕.
至此,我们讨论清楚了向量等式的几何意义:
(1)若,则三点共线;
(2)直线与的交点分所成的比为;
直线与的交点分所成的比为;
直线与的交点分所成的比为;
(3)若,则.
2.几何意义的应用
2.1三角形四心的向量表示
根据结论4知:若是内一点,则.
而对于内的每一个点,都有唯一的数组()与之对应,所以可以用向量等式来确定点在中的位置,常见的有三角形四心的向量表示.
重心
是重心(三边中线交点)
2 .内心
是内心(内角平分线交点)
.
外心
若是锐角外心(三边中垂线交点)
,
垂心
若是锐角垂心(三条高的交点)
,
对于外心和垂心,之所以限制在锐角三角形范围内,是因为如果是钝角三角形,那么会出现负系数的情形,这就要引入方向面积的概念,而这超出高中范围,故本文从略.
2.2动点轨迹问题
1.等和线
在结论2中已经看到,若,则点在直线上,即随着的变化,点的轨迹是直线,事实上,有下面的结论:
若,(为定值),则点的轨迹是平行或重合于直线的直线.
证明:当即时,,
所以,所以点轨迹是过且平行于直线的直线.
当时,令,则
于是
因为,所以
所以点的轨迹是直线
因为且为定值,而在直线运动
所以点的轨迹是平行或重合于直线直线
综上,原结论成立,证毕.
从证明的过程能看出定值的几何意义,上图展现了取不同值时,点轨迹相对于直线和点所在的位置.
另证:设是点轨迹上任意两点,
则存在实数使得
所以
因为
所以
于是
所以
因为是点轨迹上任意两点
所以点的轨迹是平行或重合于直线的直线.
2.等比线
在等式中,若为定值,则,所以与共线,因为为定值,所以点轨迹是直线,又由结论3知,的几何意义是直线与直线的交点分所成的比,这样就获得了直线的一个性质.我们看下面的例子:
例.已知,则点轨迹经过的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解:因为,所以点轨迹是直线
根据结论3知,直线与直线的交点分所成的比为
根据三角形外心的向量表示知,的外心在直线上,故选A.
总之,共起点三向量的线性等式些比例关系,而又丰富了该等式的内涵.