丁玖：从我的数学人生看怎样学习数学
2011 年 4 月，作者（前排右二）与香港浸会大学数学系 “泛函分析” 班同学
我在中国拿到了南京大学的硕士学位，后来留学美国密歇根州立大学，1990 年获得博士学位。一眨眼，我已在美国一所大学的数学系任教 28 年了。
我上学较早，14 周岁高中毕业，先后在 3 个工厂当过 5 年工人。我很荣幸成为了 77 级南京大学数学系新生中的一员，当年数学系的高考均分与天文系并列全校第一，这得益于我进厂学徒前，在 3 个月内从头到尾精读完 “文革” 前高中 3 年的 18 本数理化课本。可以说，我很早就经历了自学和无师自通的实践，知道怎样读书、懂得掌握概念是学通数学的不二法门。
进大学后，在全班强手如林且人人苦读的氛围中，我循序渐进，稳打稳扎，配合数学与人文课内课外书籍的大量阅读，在本科毕业时真正爱上了数学，走上了职业数学家的康庄大道。今年已经 60 周岁的我，自认为对怎样读书，尤其对怎样读好数学有些心得体会，甚至有过深入思考。
一 因热爱而专注
理工科的大学生都要修高等数学的基础课，如微积分和线性代数。这些数学课程通常难于一般工程学科的专业课，因此很多人学得颇为吃力，希望有捷径可走。事实上，根本没有读好数学的 “灵丹妙药”，如果有的话，数学家的子女肯定都是数学家了，因为父辈会将这些妙方传给后代。但很显然，大部分数学家的子女长大后都干其他行当去了。
即便如此，对 “怎样学习” 这一难题总会有一些相对行之有效的行动准则。在我读大学本科的年代，班里那些会念书的聪明同学就掌握了这些有效的准则。我自己也积累了很多可以与人交流的学习经验。对于年轻学子，了解这些有用的学习方法并且实践之，可能会显著提高读书的效率，并大大增强不畏困难的勇气。
在谈论 “怎样学习” 这个话题时，我们不应忘记一个前提条件，就是学习的动力来自对所学科目的热爱。这种出自兴趣的热爱往往被自己的天赋之才所点燃。那么，如同在数学上常做的那样，我们先给出一组假设，然后再来探讨怎样学好数学。这里所指的数学并非仅指数学系学生要修的那些数学，它包括大学课程里开设的任何“高等的数学”。
我们的假设是：学生已经建立起对所学科目的感情，即学习的兴趣已经不成问题，并且该学生愿意勤奋学习。他或她是否天赋极高或智力平平，我们并不在意。在理想的状态下，我们想知道的是怎样事半功倍地学好这门学科。
首先要强调的是：学习的第一要素为专注。很难想象一个注意力高度不集中的人会念好书。有的人天生就有在热闹场所也能静心读书的本领，但另一些人即便在静谧无声的环境中也难以埋首书本。他们像身体中铅元素含量超标的儿童，患有多动症，刚看了几秒书，就开始东张西望，坐立不安。这样的人，如果改不了动来动去的读书姿势，最好不要进数学系，免得遭受《数学分析》中极限语言的痛苦折磨。须知，深奥的极限理论非凝眸定力一字一句地琢磨，不能深刻领会其精神实质，顶多是云里雾里的一知半解，似懂非懂。我想指出的是，专注者看书一小时的效果，抵得上精神涣散者 5 个小时的智力劳动。如果真想学好数学，注意力较差的人必须下定决心排除万难，先学会 “专注” 这门童子功。
怎样才能掌握这门功夫呢? 京剧大师梅兰芳先生出名前，曾苦练眼功。他小时候两眼稍有近视，导致眼神不能外露，偶尔迎风还会流泪，眼珠转动也不灵活，这对于一个演员来说是个致命伤。拜师时，老师讨厌他的一双 “死鱼眼睛” 而不肯教他。这就像学数学者先患了多动症一样。但是眼神先天不足的梅兰芳不灰心，通过驯养鸽子练眼功。他的眼光始终盯住蓝天中翱翔的鸽群，眼珠也随着空中盘旋的鸽子左右转动。久而久之，春夏秋冬，他最终练就了舞台上一个个女性角色顾盼有神、熠熠生辉的双眼。
举一反三，我们便可以开出医治 “专注缺乏症” 的一剂良方：到人多嘈杂的场所去读书。如果你不喜欢走出户外训练自己，也可以打开电视机，选择一个特别有趣的节目，调高音量，然后坐在电视机前看书，努力不让自己抬起头来看电视。刚开始时，你大概被身边晃动的人群、高分贝的 “混合唱” 或屏幕里动人心弦的表演搅得心烦意乱，进不了书的世界。但是，只要你强迫自己目光如炬地注视眼前的铅字，无视他人他物，达到天塌下来也无所畏惧的境界，你的注意力就会稳步上升。用不了几次，你的专注能力就会冲上 90 分的高度。如果这样，祝贺你已经具有了学好数学的一个必备条件。
二 掌握概念
我在长期的读书经历中，体会出学好数学最重要的法宝，就是对概念的精通。其实这也是数学学得透彻的人的共性。数学以公理和公设为前提，以定义为先导，以逻辑为工具，逐步推演出紧紧围绕在被定义概念周围的各种命题。在这个过程中，推理的艺术笼罩一切。而我们看懂定理证明的一切本领，来源于中学所学的欧几里得几何。
数学命题的内容不外乎是关于某个概念的性质，或与其他概念的关系。命题表述中的所有概念都必须被定义。故在它们的证明中，所涉及的概念无处不在。因此一遇到某个概念，脑海里就应浮现出关于它的清晰图像。比如说，微分学里有个简单的命题：若函数在一个点的导数存在，则函数在该点是连续的。它的几何直观性是显然的：若函数的图像在一点有切线，则函数的图像在这一点无间断。在这个命题当中，有三个数学概念，其中 “函数” 是中学里就学过的老概念。其他两个概念，即 “连续” 和“导数”，则是在微分学中先后被引进的。所以在证明这个命题时，一定要对这两个概念的定义了然于胸。如果连导数的定义还停留在模模糊糊的状态，或者根本还没有弄懂 “连续” 究竟意味着什么，怎么能从一个函数的可导性推演出它的连续性呢？
既然概念如此重要，为什么很多学生并不把它放在眼里呢？原因之一是，对于他们而言，背诵定义比理解定义更容易、更轻松。背诵是机械性行为，而理解则需要投入思考。好的教科书中的数学定义，描述得非常清楚，也很节约，即没有任何废话，每个字都有用。要完全理解复杂定义的内涵并非易事，需要不停地苦思冥想，绞尽脑汁。检验自己是否真正弄懂了一个定义，一个妙法就是命令自己写出该定义不满足时的一句陈述。如果写不出来，即离真懂定义尚有一段距离。
1986 年，作者在教学助理办公室
兹举一例。假设读者学过 “ε-δ” 语言的极限定义，即函数 f 当 x 趋向于 a 时的极限为 L，如果任给正数 ε，存在正数 δ，使得当位于 f 的定义域内的 x 满足不等式 0<|x - a|<δ 时，不等式 |f(x)-L|<ε 就成立。那么，“函数在 a 点的极限不是 L”这一现象该怎么陈述呢？这是关于一个性质不成立的说法。当这个性质比较简单的时候，否定的说法同样简单。例如，“我是一个学生”的否定叙述就是 “我不是一个学生”。然而，对于一个包含了“任给”“存在”“当...... 就” 等单词和短语的复杂定义，它的否定语句就不是那么简单了。我们需要开动头脑里所有的逻辑机器，挥舞分析的大刀才能办得到。读到这里的读者，就请你写出 “函数在 a 点的极限不是 L” 的定义吧。
固然，有人是愿意思考的，但可能由于某些不易控制的内外因素，对于复杂的定义或艰深的证明，一下子难以理解。这时，耐心就起了关键作用。这里，我们不妨借用一下美国物理学家理查德 · 费曼在 23 岁时给他 14 岁妹妹的读书指导：“你从头读，尽量往下读直到你一窍不通时，再从头开始。这样坚持往下读，直到你全能读懂为止。” 这个方法是行之有效的，最适用于希望无师自通的自学者。
既然数学是一门 “证明的科学”，从某种意义上说，学会了证明或者至少看懂了证明，就等于学好了数学。数学中的命题常有其他名字，大部分重要的命题被称为“定理”。一小部分以“引理” 冠名，还有的叫 “推论” 或“系”。前者的功能是为了证明其他定理，后者就是前面一个定理的某个直接结果。弄不懂命题的证明，对于数学专业的学生而言几乎就是 “耻辱”。所以，我的博士论文导师李天岩教授的博士论文导师约克教授曾经强调说：“理解重要定理证明的每一步比理解定理本身还重要。” 但是，如何看懂定理的证明呢？
2015 年我发表在《数学文化》上的《约克教授谈教育》一文中，记载了约克教授对于怎样看懂定理证明的指导性建议：
“学生（甚至教授）要试图理解证明中的关键思想，并最好找到两个关键的想法。这些关键思路不一定非得以‘引理’的面貌出现，因为书中也许指出了太多似是而非的关键线索。其实关键思想往往是令学生大吃一惊的那个，因而不同人会挑出一个证明中的不同关键想法。它们是提高我们理解力的关键要素。一个关键的点子也许会有复杂的证明，故学生们应当从这个过程中发现两个关键的思想。”
2010 年 11 月，李天岩教授（左三）与过去的博士生相聚美国，右一为作者
三 做题
学习数学的一个重要步骤是做习题，然而绝不是做得越多越好。我的大学同学田刚院士读本科时虽然做了近两万道习题，但是他现在并不鼓励学数学的大学生像他过去那样。不可否认的是，美国造就了很多杰出的数学家，原因就在于美国学生做题不是为了应试，而是为了巩固概念并帮助 “推陈出新”。
那么，怎样做题才算 “科学地做题”？学好数学最根本的要旨是掌握概念，所以概念不清的时候不要急于做题。事实上，完成任务式的做题是难以“做好题” 的。下课后应该不慌不忙地先把定义、定理了解得一清二楚，然后再开始做题，有助于加深概念理解。好的教科书列出的习题，一部分是围绕概念或应用定理的“常规题目”，还有一部分是锦上添花极具挑战性的上等题目。有的书干脆列出带有提高性的重要命题，挑战读者的解题和证明能力。要敢于尝试这类题目，不要做太多几乎不用动脑子的“概念题”。这才是提高数学品味的最佳途径。
总而言之，学习与婚姻一样，都是终身大事。在青少年阶段养成 “好读书” 的习惯和 “读好书” 的品味，在课堂求学的数年，学会怎样学习，寻求适合自己的读书方法，就能化被动为主动，唤起书中铅字的活力，把它们读得翩翩起舞，你的思维就会活动起来，阅读快感会不断升腾，你的人生经历也将越来越滋润有味了。
作者简介：
丁玖，南京大学数学系七七级本科生、八一级硕士研究生，1990 年获美国密歇根州立大学数学系博士学位。现为美国南密西西比大学教授，2002 年和 2007 年获校级杰出研究奖，2004 年获校级杰出教学奖，2005－2006 学年担任毕业典礼大典礼官，2016－2017 学年获密西西比州杰出高校教师奖。著有《智者的困惑：混沌分形漫谈》《数学之英文写作》（与汤涛合著）《亲历美国教育：三十年的体验与思考》等。最新著作《南大数学七七级》将于 2019 年出版。
来自《神州学人》2019 年第 2 期，略有修改。感谢作者同意转载。