每只小猴要抬多少米？——“数学画”教学案例

猴小年

“数学画”终于出版专著啦！到现在足足五年时间，只有亲历者才知晓个中酸甜苦辣……

好事啊！事实证明，上天终归是公平的，一份耕耘一分收获。

猴小年

很多老师并不了解“数学画”教学，所以他们想提前了解一下这本书的主要内容呢！

马小月

这个没问题，陈昱行思录上其实已经发了很多“数学画”教学案例和教学活动，细心的老师应该可以查得到。——当然这与《“数学画”教学行与思》相比还是很少的一点。

为了满足老师们的要求，陈昱行思录继推出该书目录后，今天将推出一篇案例文章。

太好了！那么多案例，这次会推哪一篇？

马小月

这个呀，陈老师还真作了一番取舍。然后，果断敲定下面这一篇！

猴小年

别卖关子啦！到底是哪篇？陈老师为什么独独选中它？

马小月

到底哪篇，大家往下看自然就知道啦！至于为什么选中这篇，请大家猜猜看！嘻嘻……答案以后推文中揭晓。我闪啦！去看案例啰！

每只小猴抬多少米？

——“数学画”中读学生思维促教学改进

问题呈现

苏教版数学教材四上P17有道思考题：一个大西瓜，需要2只小猴一起抬，3只小猴要把西瓜从离家300米远的地方抬回家，平均每只小猴要抬多少米？

孩子们课后利用“数学画”解决问题。

学生思维

孩子们的“数学画”作品充分体现了他们对这个问题的理解与思考，透过可视化的“数学画”我们可以读懂学生的个性化思维，感受学生思维及情感的脉动。从作品中可以看到学生对同一问题不同角度的解读和解决方法，大体有这样几种情况：

方法一：排列法

图1

如图1所示，小作者将3只小猴两两排列，得出6种情况，平均每种排列的2只小猴抬50米（300÷6），每只小猴要抬这样的4次，所以每只小猴要抬4×50=200（米）.

方法二：组合法

采用组合法的同学占全班的大多数，举一例说明：

图2

图2中，小作者将3只小猴两两组合，得出3种情况；再将300米的路程平均分成3段，每段100米；3种组合中的2只小猴分别抬西瓜走1段；走完一统计，每只小猴走2段，就是2个100米即200米。

方法三：反向思考法

图3

图4

图3、图4是一位同学画的组图，她的思维比较特别，多数同学细致表达的排列组合过程她一笔带过，而是着重表现她的反向思路：每只小猴休息100米（理由可以参考方法二），走完全程是300米，那么每只小猴应该要抬300-100=200（米）.

方法四：整体思考法

如果说排列和组合法是从细节入手，厘清抬西瓜过程，找到3只小猴两两抬西瓜的规律；那么绕开抬西瓜的具体过程，从整体角度思考和把握，就可以从另外的视角分析并解决这个问题。

图5

图5的小作者没有去解析3只小猴如何排列组合，而是思维跳开：假设抬西瓜的就2只小猴（至少2只），抬完全程各走300米，一共走300×2=600（米）；实际是3只小猴协同抬西瓜，相当于600米路平均分给3只小猴，那每只小猴要抬600÷3=200（米）.

图6

图6的小作者更进一步，干脆用上学期刚学习的分数的意义来思考：就是把2个人的工作量分给3个人，那么每人的工作量就是（原工作量的）三分之二。其潜台词是：本来抬个西瓜，才300米的路（工作量），2只猴足够了，非要去3只猴，这不是抢工作吗？猴多活少，每只猴只能抢到原先活儿的啰！求300米的，就是300÷3×2=200（米）.

“数学画”放手学生自主思考，呈现出多姿多彩的思维个性，除了上述不同方法的区别，即便用同一种方法，不同的学生也会有各种不同的表达方式。以组合法为例，每一幅作品都极具特色，绝不雷同。

情境分析式：

图7

图8

图9

图10

如图7–10，小作者们念念不忘“小猴抬西瓜”情境，或描绘出组合抬西瓜场景、或将300米路程画成3座大山、或将关键信息设计成人物对话等，不一而足。儿童是天生的画家，儿童也天然地喜欢故事情境，这些情境化的“数学画”反映了儿童数学学习的心理特征，需要我们给予充分的尊重，并在此基础上加以数学化的引导。

在情境化的外表之下，这样的画作也初步显现出数学的内核，这体现在小作者于情境之中对问题的表征和对数量关系的分析上。比如为了分析方便，有的给3只小猴排序、命名，有的干脆就用数字表示它们，每幅画都辅以简洁有序的文字说明和算式等。

元素分析式：

图11

图12

这类“数学画”不再描绘故事情境，而是抓住3只小猴以及它们两两组合抬西瓜等关键性元素，加以分析推算。当然不同的孩子会选用不同的表征方式来表现这些元素，比如有的直接画小猴，有的则具有符号意识，改用圆形和“甲乙丙”来代替，他们多数会用连线配以算式或简易文字来再现题目中的关系。

线段图分析式：

图13

图14

图15

图13-15已经呈现出线段图，代表这些孩子在数学化道路上向前挺进了一步，除了线段图的运用，他们的符号意识也很强，代入了数字、连线、字母、括线、算式等数学符号；但是儿童的年龄特征和认知特点又使这样的线段图里保留着鲜明的情境元素，如生动的人物形象、鲜艳的装饰等。

图16

图17

图18

图19

图20

图21

图22

图16-22无疑更像一般意义上的线段图，简洁明了又充分示意。同是简洁的线段图，也有诸多不同：1.小猴的表示方法不同，图17、23用“甲乙丙”，图22用几何图形，图20用数字1、2、3，图18、19用大猴、二猴、三猴（第一只、第二只、第三只）等；2.线段的形态不同，图17、18、19、22、23是一整条线段分段表示，图20是整条线段后分3小段分别表示，图21则依照行走过程递增式呈现；3.记录信息方式不同，对于“每只小猴要抬多少米”这样的关键信息，图17、21是在图上整体递增式记录，图18是在图上分别递增式记录，图19是在图上分别分散式记录、图23是图外列表记录，图22是几何图形分别记录等。

教学启示

像这样分析学生在“数学画”中的种种表现，令笔者每每想起我们的数学教学，读懂学生思维是为教学改进提供启发和参考，这里略谈一谈。

1.学生的个性表达，需要宽松的教学环境。

了解孩子的心理，相信孩子的潜力，尊重孩子的差异，这是“数学画”教学遵循的价值观之一。在此基础上，我们应努力建设和谐自然的师生关系，营造宽松自由的教学环境，使得每一个孩子敢于表达、善于表达、乐于表达。

在具体的教学中，多以开放的思想和心态对待孩子，尽量不人为设置思维的条条框框，保护孩子的想象力和创造力；尽量不规定独一无二的标准答案，允许孩子有不同的想法，珍视孩子自然状态下真实的表达，鼓励孩子自主思考，鼓励孩子提问题，培养孩子逐渐拥有批判性思维。

2.学生的思维提升，需要组织展评和互动。

独学而无友，则孤陋而寡闻（孔丘语）；水本无华,相荡而生涟漪,石本无火,相击而生灵光（泰戈尔语）。“数学画”教学不止于“画数学”，还要展评，即“说画”“读画”“评画”，这样学生的认知和思维才不会仅仅停留在自身的局限里，而会在交流中激发出新胚芽，在碰撞中迸发出新火花。学生只有看到别人的想法，才会在比较中反思自己的，思维才会生长，学习才会真实发生。

独立思考与交流互动乃学习的两种重要方式，前者是阳光，后者是雨露，缺谁都不好，光和雨顺，思维的种子才会发芽生长，渐成参天大树。

马小月

案例看完了，亲爱的老师，您有什么想法？欢迎给陈老师留言（因为本公众号申请较晚，没有留言功能，可以私信哟！）

欢迎交流！一起行走！

附：关于《“数学画”教学行与思》一书销售方式的说明

1.     销售代理：合肥市凿壁偷光图书城

2.     具体销售地点：（1）合肥市凿壁偷光图书城经开区店——宿松路3888号；（2）合肥市凿壁偷光图书城五里墩店——蜀山区合作化路和长江西路西南角金域国际写字楼103-1.

3.     外地邮购事务联系人：周祥店长，手机（微信）15156085090（备注：请务必在工作时间联系！）

4.     销售价格及折扣：（1）一次性购买20本享受95折；（2）一次性购买30本享受9折；（3）一次性购买50本享受85折；（4）一次性购买100本及以上享受8折；（5）其余情况均全价58元/本。（以上均可以开具正规发票）