原码和补码 / 开普饭

前面讲述了十进制整数和小数在计算机里面的存储，但是计算机终究是用来做计算的机器，归根到底它的作用还是用来计算，这一小节就来讲解一下存储在计算机中的二进制数是如何来运算的。首先我们来一起看一下二进制加法。

二进制加法的计算过程和十进制加法一样，在演算的时候可以列出竖式进行计算。如一个加法程序，用户输入两个十进制数85和78进行加法运算，首先计算机收到这两个数之后，将其存储起来，在运算时再将它们放入寄存器中，此时的它们存储时就已经是二进制了，(85)d=(01010101)b，(78)d=(01001110)b。计算式如下：

(10100011)b转成十进制就是(163)d。

这里告诉大家一个秘密，早期的x86 CPU内部是只能做加法，不管是加法还是减法，都是用加法器来计算的。加减法机制到目前的CPU上面还是如此，即减法和加法，CPU最终都是做的加法运算，而乘法和除法运算现在的CPU则和以前的有很大区别，后面会讲述。

其实计算机在存储变量的时候，计算机都是以补码方式存放的，这里引入了一个新概念叫做补码。在讲补码之前先阐述两个其他概念，原码和反码。

原码，其实就是二进制码本身，例如，一个十进制的数50，对其进制转换，转换成二进制是00110010，这个00110010就是其原码；

反码，就是将原码本身的每一位二进制数值取反，这是一种逻辑运算，简单来说就是把二进制的1转换成0，0转换成1，比如原码是00110010的二进制，其反码就是11001101。

上面的原码和补码都只是抛开符号来说的，但是计算机里面的数值都是以二进制存放的，计算机里面的数值分为有符号数，无符号数，浮点数这三大类。对于负数来说，计算机本身就不知道它到底是一个正数还是一个负数，因此需要对计算机存储器里面的数值进行定义，一般地，以一个二进制的最高比特作为符号位，当符号位为1时，表示这个数值是个负数，符号为0时，表示这个数值是一个正数。总而言之，不管是32位变量，64位变量还是8位变量，它们的最高位都是表示符号。

而补码的求解原则有两条：

（1）正数的补码就是其原码；

（2）负数的补码求法是：符号位保持不变，其他位取其反码再加1。

比如一个数值53，先求其二进制数(00110101)b，按照正数的补码就是其原码的原则，它的补码就是(00110101)b。

再比如一个数值-53，先求其二进制数(-110101)b，假设这个数值是以8位二进制存储的，那就将其符号位变成最高位，由于是负数，就可以得到它的二进制为(10110101)b，符号位保持不变，其他位取反(11001010)b，再加1，就可以得到其补码(11001011)b。

上述就是一个二进制数存储在计算机里面求补码的方式。

好了，让我们再来思考一个问题，已知所有的内存地址都是按照一个字节（8位二进制）来存储的，假设一个变量是1个字节，那么它存储无符号数值的时候，最多可以存储2^8=256种数值，存储数值的范围即从(00000000)b~(11111111)b，即0~255。而在存储一个有符号数值的时候，由于最高位要用来存储符号，而它存储的数值可能还是256个，只不过不同的是其数值范围变成了（-128~+127）。同样的，一个十六位存储宽度的数值，如果存储无符号数的时候，数值范围为0~65535，但是如果存储无符号数值的时候，其数值范围缩小一半，为-32768~+32767（勘误，感谢网友ID为“楔子”的朋友指出）。以上就是计算机存储数值的机制，其实对于计算机来说，它是不区分无符号数和有符号数的，它处理的都是二进制数，只不过在显示或者软件编程的时候需要区分。比如在计算机编程的时候，定义了一个八位二进制数，那么它在编译软件处理的时候就将其直接转成补码的形式存放起来。

理解了以上问题，我们再来看计算机如何做减法。其实初中数学就告诉我们，减法运算其实是加负数的运算，比如十进制数56-3，把它写成加法形式就是56+（-3），我们先假设这两个变量都是以8位二进制数，即一个字节的大小来存储的。存储到计算机里面首先需要将其都转为补码的形式，56由于是正数，因此其补码就是原码，为（00111000）b，-3由于是负数，因此其补码的求解方式就是符号位保持不变，其余位取反加一，为（11111101）b，接着让我们直接将其相加，看看会有什么结果，可以得到其结果为（100110101）b，得到的结果是一个九位的二进制数，由于我们之前假设了这个存储器是八位的，因此第9位属于溢出位，先不管它，取其低八位二进制（00110101）b，这个值是一个补码，接下来需要将它转换成原码。补码转原码的方式和原码转补码的原则一样，即最高位为符号位，正数的补码就是其原码，负数的补码求法是：符号位保持不变，其他位取其反码再加1。回头来看这个结果（00110101）b，它是个正数，因此原码就是它本身，为（35）H，转换成十进制就是53，因此56-3就是53。

为了给大家再详细地来解释一下这个问题，我们提前来用C语言写一个测试程序。代码如图1-6-1所示。