二次函数图像的几何性质

总结一下二次函数与几何相关的性质。

001高宽比

所谓“高宽比”    其实就是函数上两点之间的“铅锤高”和“水平宽”之比。在一次函数中，高宽比基本可以看做高中的斜率。初中的时候也可以适当的介绍。

初中一共学三种函数（什么？你说三角函数不算函数？）除了一次函数，还有二次函数和反比例函数，其实这三种函数的高宽比都有各自的特点。比如一次函数的高宽比就是解析式里的k，并且和所取的两点无关，也就是一次函数上任意两点的高宽比都为k(k为定值则高宽比为定值)。

今天借助GGB（GeoGebra从“0”基础到入门精通教程01-09+实操案例整合版）软件，探究下二次函数的高宽比是什么样的？

取一个顶点和其他任意点，高宽比并不是常数，根据过原点的二次函数解析式易得，高比宽方才为定值（就是二次项系数a）。并且可以推广平移至任何的二次函数图像。

如下图；注意观察，a变化但是BC/OC方始终等于a.并且可以推广平移

下图依然：a变化但是BC/OC方始终等于a.并且可以推广平移

平移：

B变换位置比值BC/OC方依然不变，平移后依然成立

如果不取顶点而是任意两个点的高宽比和高/宽方，那么这两个比值都会随着点D，E的变化而变化。

如果让其中一个和顶点重合此时，再移动另一个点，比值就不会再变了，而是始终等于a.

综上我们得出结论，二次函数存在高比宽方，当其中一个点是顶点的时候，高比宽方为a(二次项系数),当两个点都不是顶点的时候，高比宽（方）的值，与两个点的横坐标有关.(到底有什么关系？其实可以设点做标计算)

002平行弦的性质

首先要知道什么叫二次函数里的弦，其实就是曲线上两点的连线。它有什么样的性质呢？

如下图k确定的一组直线系，和二次函数交于两点形成弦，弦的中点横坐标是不变的，注意这就说明了k固定的直线系和二次函数的交点组成的弦的中点横坐标不受b的影响。

这样一来我们平移这组（条）直线，两个交点必然是越来越近，总有一个时刻，两交点重合也就是相切的时候，此时显然中点也和两个点重合了。也就是说切点的横坐标就是弦中点的横坐标。

想一想是不是可以解决三角形面积最大值问题。已知AB在AB下方的函数图像找一点C使得三角形ABC面积最大，这个C是切点的时候面积最大（AB看做底高最大）（也可以看做铅锤高最大（下文）），如果A，B做标已知可以快速算出C的做标。

如下图同样设点做标易得证。

003二次函数内接三角型面积公式

其实就是割补的一种，叫做宽高法，可以选任意两点水平距离为水平宽，第三点做竖直线与刚才两点所在直线交点的距离为铅锤高。

第一种：

第二种：

第三种：

各种变化都是一样道理：

如下图，这里因为三个点都在抛物线上，所以水平宽和铅锤高还有一个特别的关系：看到了么？用汉字叙述不太好说，我就不打字了，大家可以自己试着用汉语叙述一下。

这样一来，宽高公式可以写成下面这样：

通过公式我们可以看出，抛物线内接三角型的面积，和a有关，还和三点的水平相对位置有关，（也就是和b,c都没关系）具体来说就是其中一个点和另外两个点的水平距离有关（即公式中的MQ，MN，特别注意下图是用A做垂直找铅锤高，换成B，C也是可以的）

简证：

为啥和b,c 没关系，因为a决定了抛物线的大小（注意是大小不是形状，为什么不是形状一会在下面会说（抛物线都相似）），b,c只能决定抛物线的位置（不改变大小和形状）。

004(插播)a,b,c对抛物线的影响

如下图a对图像的影响：

如下图b对图像的影响：

如下图c对图像的影响：

 什么！？ b 的影响你没看清，我们追踪一下顶点再看看下图：

b变化时，每一个点的轨迹都与抛物线自身形状相同，且倒映在水面。。。

005抛物线都相似？？？：

我第一听说的时候也是大吃一斤，还百度了一下：

怎么看也不像相似。

 加上辅助线再隐去一部分：

看着还不行，换个地方试试看看：

是不是舒服多了：

 再换一个地方看看：

从理论角度分析一下：c具有任意性，所以对于任意的对应的点就都成立了啊。

（点击查看：几何模型解题，体系化模型系列汇总（+精））

（点击查看：GeoGebra从“0”基础到入门精通教程01-09+实操案例整合版）

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