从特殊到一般思想，证明格点面积皮克公式

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 格点问题大家都见过，小学基本也有，所谓皮克公式，就是求格点多边形（顶点都在格点的多边形）的面积的公式：

这个公式简洁明了，也好记，今天主要说说怎么证明，并用到一种数学思想：从特殊到一般思想（从简单到复杂），其实还有从一般到特殊的情况，其实都是先研究简单的再一点点的研究复杂的，一般情况简单就先研究一般情况, 特殊情况简单就先研究特殊情况！如学习平行四边形，三角形等知识，都是先学一般的情况，因为性质少。

那我们用的是从特殊到一般，多边形有很多种啊，先简化出一种，就是三角形（最简单的多边形）

数一数符合不：

数了数也没用不具有代表性啊？

这时候再特殊化一点，横平竖直的直角三角形怎么样？

横平竖直直角三角形好像也不好搞定，但是两个全等的直角拼成一个横平竖直的矩形就好整了！！！

具体步骤，不是一般性，设边上(不含顶点)整点个数分别为m,n.证明采用的就是验证法，用皮克公式算一遍，用普通公式（长乘宽）算一遍，能对上号就说明正确，因为m,n任意，所以具有一般代表性！

这里都没算到最后，大家自己算算，算完两种结果是一样的！这就说明矩形面积符合皮克公式，好了就以此为根据地，继续证明Rt三角形。

如下：

矩形一分为二，恰好两个一模一样的直角三角形，他们的内点，边点都相等。上图是，割线没有整点的情况，内点一边一半，但是边点一边多了一个！A，B处的分开，导致了边点的增加（顶点显然也是边点）。导致新Rt的边点为（原矩形边点个数+2）/2=m+n+3.

当分割线上有整点时：

换一种说明方式，正好消掉，也符合公式！好了这就证明了直角三角形满足皮克公式，再以此为根据地继续证明：

任意水平竖直底的三角形，都可以分割成两个直角三角形：

一样符合，慢慢看出规律来了吧，分割线上产生整点也不影响公式的使用！

那更一般的三角形呢？

如下：

可以看做矩形减去三个直角三角形

具体步骤，这次是减，但是依旧同理：

分割线上的整点变化a,边点对应变化-2a,还有顶点个数的变化+-2！

减一个角先试试：

这样就证明了任意三角形满足皮克公式！！！

其实，所有的格点多边形，都可以看做格点三角形拼凑而成，所以继续就可以证明任意多边形的皮克公式了，

这里以四边形为例：

没算完自己算算是不是一样的？

（本次及以往所做动图和源文件将分享在QQ群文件）

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