空间向量法求空间夹角

今天来看看,解决高中立体几何的常见题型,求空间角的方法:空间向量法。这是常用或者说必用的方法。

线线角:

空间中直线,可以用空间向量代表它的方向

如图:两向量

如下图:两向量夹角阿尔法就是线线角

(因为刚好为锐角

做题时选择适当坐标系,由点坐标(终点减起点)得方向向量

计算公式计算即可得向量夹角角度(余弦值):

公式和平面向量一致,可类比记忆

当然可能选取的两向量夹角为钝角,这时候就要转化为锐角

(求其补角):

线面角:

要解决线面角,就要引入代表平面方向的“法向量”,顾名思义,就是和平面垂直的向量(显然不唯一)。

法向量的方法就是设向量坐标,再根据其和平面中两个向量正交(数量积为零),求解,解有无数,取其中一个就行。

蓝色为平面法向量

红色为直线方向向量。

这里注意,该两向量夹角并不是真正的线面角

夹角为锐角阿尔法时,

线面角为贝塔和其互余

也有向量夹角不是锐角的时候:

这时候要先其求补角,求补角的余角,

这才是真正线面角

总结一下就是求线面角时,不论是锐角还是钝角,都化为锐角,在求补角!

二面角:

二面角就是先找两平面的法向量呗!

法向量的夹角是不是二面角呢?

你看它时而锐角,时而钝角

锐角时该角就是二面角,

钝角时该角的补角是二面角。

转化为正视平面图看看:

锐角时:

阿尔法=角KOP=角JON=二面角

钝角时:

二面角=角NOP=角JOK=180-阿尔法

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