空间向量法求空间夹角

今天来看看，解决高中立体几何的常见题型，求空间角的方法：空间向量法。这是常用或者说必用的方法。

线线角：

空间中直线，可以用空间向量代表它的方向

如图：红蓝两向量

如下图：两向量夹角阿尔法就是线线角

（因为刚好为锐角）

做题时选择适当坐标系，由点坐标（终点减起点）得方向向量

经计算公式计算即可得向量夹角角度（余弦值）：

公式和平面向量一致，可类比记忆

当然可能选取的两向量夹角为钝角，这时候就要转化为锐角

（求其补角）：

线面角：

要解决线面角，就要引入代表平面方向的“法向量”，顾名思义，就是和平面垂直的向量（显然不唯一）。

求法向量的方法就是设向量坐标，再根据其和平面中两个向量正交（数量积为零），求解，解有无数，取其中一个就行。

蓝色为平面法向量，

红色为直线方向向量。

这里注意，该两向量夹角并不是真正的线面角

红蓝夹角为锐角阿尔法时，

线面角为贝塔和其互余！

也有向量夹角不是锐角的时候：

这时候要先其求补角，再求补角的余角，

这才是真正线面角

总结一下就是求线面角时，不论是锐角还是钝角，都化为锐角，在求补角！

二面角：

二面角就是先找两平面的法向量呗！

法向量的夹角是不是二面角呢？

你看它时而锐角，时而钝角。

锐角时该角就是二面角，

钝角时该角的补角是二面角。

转化为正视平面图看看：

锐角时：

阿尔法=角KOP=角JON=二面角

钝角时：

二面角=角NOP=角JOK=180-阿尔法

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