第26讲 典型例题与练习参考解答：定积分的性质与微积分基本公式
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第26讲：定积分的性质与微积分基本公式
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明不等式：
练习3：设在上连续，在 内可导，且
证明：存在，使得 .
练习4：计算正弦曲线在 上与轴所围成的面积.
练习5：汽车以每小时 36 km 速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度刹车，问从开始刹车到停车走了多少距离?
练习6：计算 ，其中
练习7：计算如下定积分：
(1) ；
(2) .
练习8：设 在 上连续，且满足关系式
求的表达式.
练习9：设 在 上连续，且满足关系式
求的表达式.
练习10：设函数 在 上二阶可导，且 ，证明：
这一结论称为广义积分中值定理．
练习12：设和 都在闭区间 上连续，且 ， 非负，求
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明不等式：
【参考证明】：令，则在上，
故函数严格单调递减，即
其中
对不等式两端积分，由积分的保序性，得
计算得原不等式成立，即
练习2：证明：
【参考证明】：【思路一】 由积分中值定理， 存在 ，使得
由于 ，则有
由夹逼准则得原极限结论成立.
【思路二】 由正弦函数的单调性，有
故，于是由积分的保序性，得
由夹逼准则得原极限结论成立.
练习3：设在上连续，在 内可导，且
证明：存在，使得 .
【参考证明】： 由积分中值定理，存在 ，使得
代入已知等式得. 在区间上应用罗尔定理知，存在，使得 .
练习4：计算正弦曲线在 上与轴所围成的面积.
【参考解答】：由定积分的几何意义和微积分基本公式，得面积
练习5：汽车以每小时 36 km 速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度刹车，问从开始刹车到停车走了多少距离?
【参考解答】：设开始刹车时刻为 ，转换单位得
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时，
即. 故在这段时间内汽车所走的距离为
练习6：计算 ，其中
练习7：计算如下定积分：
(1) ；
(2) .
【参考解答】：(1) 【思路一】 由积分的几何意义和三角形面积计算公式，得
【思路二】 将绝对值函数写成分段函数，并由积分对区间的可加性，得
(2) 在区间内绘制函数的图形如下
从图中可以看到，函数的表达式为
所以由积分对区间的可加性，得
由微积分基本公式，有
故原积分为
练习8：设 在 上连续，且满足关系式
求的表达式.
【参考解答】：由于定积分为常数，令
则对已知等式两端积分，得
故，即.
练习9：设 在 上连续，且满足关系式
求的表达式.
【参考解答】：由于定积分为常数，令
则. 分别对该等式两端在 和 上积分，得
解关于 的方程组，得, . 于是得
练习10：设函数 在 上二阶可导，且 ，证明：
【参考证明】：由 ，故函数为严格的凹函数（凸曲线），则，有
令上式中的 为 并两端积分，由积分的保序性，得
故所证不等式成立.
练习11：设函数和 都在闭区间 上连续，并且 在 上不变号，证明：在闭区间 上必有一点 ，使得
这一结论称为广义积分中值定理．
【参考证明】：不妨设 ，则由积分的保号性，有
又因为函数 在闭区间上连续，则 必取到最小值 和和最大值 ，使得
于是由积分的保序性，有
两端除以的积分式，得
于是由闭区间上连续函数的介值定理知，存在 ，使得
即所证结论成立.
练习12：设和 都在闭区间 上连续，且 ， 非负，求
【参考解答】：由于 非负， 在 上连续，故存在正数，使得
于是由积分的保序性，得
又 ，故由夹逼准则，得
练习13：设和 都在闭区间 上连续，证明：
【参考证明】：对于任意实数 ，由积分的保号性，都有
展开被积函数，并由积分的线性运算性质，得
如果 ，不等式显然成立. 当不恒为0，则 ，即 的系数大于0. 由于以上式子对于任意实数 都成立，所以
移项即得所证不等式成立.
【注】：这一结论称为柯西积分不等式，等号当且仅当两函数线性相关时成立，即存在非零常数 ，使得 ．
练习14：设 ， 在 上连续，证明：
【参考证明】：由积分中值定理，存在 ，有
且由微积分基本公式
移项并由绝对值不等式，得
练习15：求 的递推公式，其中
【参考解答】：由于三角恒等式变换关系
令, ，得
于是由积分的线性运算性质，得
基于以上递推式，由 可以依次得到各积分，其中
练习16：设函数在闭区间上可积，且是在上的一个原函数，用定积分的定义证明：
【参考证明】：在区间 内任意插入 个分点
将区间 分割为 个子区间 ，记 . 由拉格朗日中值定理和 知，存在 ，使
于是可得
令 ，由于 在 上可积，故对上式两端取极限，有
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