【名师支招】函数图像的“左加右减”

WINTER

近期,在新授“20.2一次函数的图像”一课后,学生作业中布置了这样一个普通的问题:

将直线y=2x-3向左平移2个单位后所得图像的函数解析式是:_____

经过批改,笔者发现学生错误很多,有以下典型错解:① y=2x-1;② y=2x-7,等。当我和部分同学沟通时,他们都提到了四个字“左加右减”!这是一则很“流行”的口诀,与之对应的是“上加下减”!

翻开(沪教版)八下教材,对于一次函数图像的平移,教材是这样描述的:

在教学中,通过试验观察,学生很容易接受“上加下减”,课后做题时正确率颇高,当迁移到“左加右减”时很多同学发生了困难,因为这两句话有很大不同。

01

对象不同

对于直线y=kx+b(k≠0)而言。

“上加下减”是直接在“b”上进行加减,比如将直线y=2x-3向上平移两个单位得到的函数解析式是:y=2x-1(y=2x-3+2)。

“左加右减”是对x开“小包房”,针对自变量x进行加减,比如将直线y=2x-3向左平移两个单位得到的函数解析式是:y=2x+1(y=2(x+2)-3)。

02

和学生原有经验冲突

对于数轴上的数而言,越往左越小,越往右越大,然而“左加右减”这个口诀是“倒过来”的,图像向左平移要“加”,向右平移要“减”,和学生原有经验是相反的,在做题时就会产生不适应,从而造成错误。

实际上,其背后是“坐标系平移”。

设旧坐标系为xOy,平移后的新坐标系为x′O′y′,新坐标系的原点O′在旧坐标系中的坐标为(x0,y0),平面上任意点P的旧坐标是(x,y),新坐标是(x′,y′),则关系式

称为坐标轴的平移或坐标轴的平移公式,简称移轴公式。由此我们可以把函数图像向左平移,理解为坐标轴向右平移。

我的建议

这个关键点就是(0,b),直线平移,斜率“k”不变,将(0,b)根据题意平移,代入平移后的待定解析式,即可求得平移后函数解析式。

例1:求将直线y=2x-3向上平移两个单位后的函数解析式

解:(0,-3)向上平移两个单位(0,-1)

设y=2x+b,代入(0,-1),

得:b=-1

将直线y=2x-3向上平移两个单位后的函数解析式是:y=2x-1.

例1:求将直线y=2x-3向左平移两个单位后的函数解析式

解:(0,-3)向左平移两个单位(-2,-3)

设y=2x+b,代入(-2,-3),得:b=1

将直线y=2x-3向左平移两个单位后的函数解析式是:y=2x+1.

二次函数图像的平移

二次函数图像(抛物线)也可以此类推,将图像平移转化为关键点(顶点)的平移,比记忆“上加下减、左加右减”来得错误率低。

例:将抛物线y=x^2-2x-5向右平移2个单位,向下平移3个单位,求所得图像函数解析式。

解:y=(x-1)^2-6,

顶点坐标(1,-6)

抛物线向右平移2个单位,

向下平移3个单位

(1,-6)右2下3,得(3,-9)

得平移后图像函数解析式:y=(x-3)^2-9

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