蒙古鞑靼部的俺达汗为何会同意与明朝议和？
题主说的一定是历史上著名的“俺答封贡”，也称“隆庆和议”。这次和议之后，明朝和以土默特部俺答汗（蒙古人称其为阿勒坦汗）为首的漠南右翼蒙古达成和解并互相通贡互市，明朝的中西部边境至此之后达成了长达三十余年边塞和平，这也实在是身居当地的汉、蒙人民的福祉。
关于题主的这个问题，我在第一时间翻查了两种蒙古的重要史书，即《蒙古源流》和《蒙古黄金史纲》，这两本和《蒙古秘史》堪称蒙古族最重要的三大历史文献，这两本蒙古史书对这次和议着墨颇少，而且歌词大意是我蒙古的土默特阿勒坦汗太牛了，大明皇帝被打怕了，所以大明向蒙古臣服了，阿勒坦汗就接受了。就是这么简单，这完全就是站在蒙古立场上说这件事的，与明朝各类史书相左，记载的让人难以满意。
《蒙古黄金史纲》：攻打汉地，袭击城池之际，汉地的大明皇帝惧怕而缴纳贡赋和租税，并上俺答可汗以“顺义”王称号。
《蒙古源流》：行兵于取城之汉地，残破其国，循行各地时，汉国大惧，遣使来与阿勒坦合罕以顺王之号并金印请和。
想搞清楚“俺答封贡”这个事件的始末，这就不得不提到俺答在嘉靖年间的求贡历程，俺答向明朝求贡，早在嘉靖二十年就开始了，而且派使者非常积极频繁。当然俺答所谓求贡有着明显的武力胁迫的意味，在嘉靖二十年前的日子里，屡次破关抢掠，在十九年时“所过尽破关隘，杀人盈野”，可能就有让明廷认清自己的实力逼迫明廷开贡市的意图。
有这样的犯罪记录，明廷当然不能接受他的求贡，做出了坚决拒贡的反应，不仅对俺答的要求置之不理，还在嘉靖二十一年，将俺答派来的使者石天爵以极刑处死，“磔天爵，传首九塞”，其后俺答多次派使者请求通贡被拒绝之后，更加恼羞成怒，决定继续走“以武逼贡”的老路，由于嘉靖时期明军武备弛废，俺答每次入塞都给西北造成了巨大的人员、物资损失。在嘉靖二十九年，俺答汗更是直逼北京城下，烧杀掳掠，耀武扬威，史称“庚戍之变”。俺答此来目的还是为了求贡，他派出一名俘虏携带信件直言道：“只要开贡市，我就解围，否则我就一年来一次。”“予我市，通我贡即解围，不者岁一虔而郭”。
在嘉靖三十年，明廷被迫开马市，这次通贡形同城下之盟，举朝哗然。而俺答在叛人萧芹的挑唆下加上对明廷的轻视，一边贡市，一边又开始入边抢掠，明廷诘责，还傲慢的回答：“这些都是一些盗贼搞得，我怎么知道？我又不能禁止他们。”
《四夷考》：其冬，大入边杀掠，边臣诘之，漫应曰：“此贫虏掠食耳，我不能禁。即中国能禁民勿盗耶！”
至此，明廷不再信任俺答，与以土默特部为首的右翼蒙古继续互殴，直到“隆庆和议”之前根本停不下来。
直到隆庆四年九月十九日，在宣、大前线一个突发事件，使双方的关系开始破冰，就是俺答的孙子把汉那吉因为本应该成为其妻子的“三娘子”被俺答夺走，愤怒难平，遂叩关降明。宣大总督王崇古闻信后，立即将把汉那吉控制住，并进一步提出以此为契机与俺答展开谈判，商讨通贡事宜，结束西部边境的争端。内阁辅臣高拱、张居正表示全力支持，上报后，在隆庆皇帝的力挺下，内阁与宣大总督王崇古、大同巡抚方逢时一顿操作，与俺答为首的右翼蒙古达成了封王、通贡、互市的协议。
而双方之所以能在隆庆年间达成通贡互市的和平局面，绝非是偶然，而是由一系列原因构成的，从形势上看，明、蒙双方都急须在当时达成和平协议。
从右翼蒙古的角度来看。
第一、隆庆年间，随着明朝边防实力的增强，右翼蒙古的整体抢在贡市断绝的情况下，整体劫掠成本在上升，劫掠成本大于劫掠收益，所以不得不重求贡市。
明朝进入隆庆年后，明穆宗任用高拱大力整顿边防。而高拱也不负重托，对自嘉靖年间以来的边患刻骨铭心，知道边军问题已经到了不得不整饬的地步。
《明经世文编·卷三百一》：况二三十年以来，边关多事，调度为难，则其任尤重，所宜多需其才，用之不竭，然后可以济事。
明穆宗听取内阁建议，重用王崇古、方逢时、谭纶等名臣，提拔戚继光、李成梁等名将，选兵、练兵，严明法纪，修整边墙，提高边防能力，经过人事改革，明朝边防不再像嘉靖年间这样脆弱成为了右翼蒙古的提款机，不仅边防线稳固，明军还敢于主动出击捣巢，让右翼蒙古很是痛苦。
《明经世文编·卷三百十七》：臣自抚夏督原凡七载，每督陕西、延宁各镇出边捣剿，节年共斩首千余级。其陕西四镇，五年之间，斩获虏首通计三千有余。
当然，捣巢确实也是有很大代价的，毕竟自蒙古达延汗分封之后，蒙古也是采取分区防守的策略，所以捣巢是非常危险的行为，但是好歹改变了被动挨打的局面。
在把汉那吉降明之初，俺答汗曾经以兵胁迫明廷放人，张居正回复王崇古绝不受威胁，他要打，便奉陪到底，“今乃肆其凶逆，称兵挟取，吾岂畏汝者？今宣大人马，岂复往年之比？汝来则来，吾有以待之”，也突出了内阁对此次军事改革信心巨大。
第二、蒙古右翼蒙古遭受天灾，急须物资补充，在明朝边防稳固，劫掠不能满足自身需要的条件下，迫切需要开市的到物资缓解自己的经济危机。
众所周知，以游牧经济为主体的蒙古族更容易受到水旱风雪等自然灾害的影响，而在嘉靖末到隆庆年间，恰好土默特部遭遇连年灾荒，“大雪烈风，严霜震雷，冬春杀草扬沙，牛马多死”，而俺答在丰州滩建立的板升（土默特部给明朝境内的叛民和掳掠民众的聚居地，让其从事农耕，以弥补物资不足）并不足以弥补损失，所以急需开市及时止损，缓解经济危机。
第三、俺答此时正在对青海用兵，与明朝和好，可以避免两线作战。
从史料显示，早在嘉靖三十八年，以俺答为首的右翼蒙古由于“羡青海富饶”，已经开始对青海用兵，但是主力部队一旦离开，就有被明军偷袭的危险，有束手束脚之感，为了顺利达成对青海的用兵，与明朝讲和、互市，避免两线作战，绝对是一个好的策略。
值得一提的是，隆庆四年十二月底，接受明朝册封，达成互市后的两年后，据《蒙古源流》记载，万历元年，以俺答土默特部为首的右翼蒙古就大规模出动向青海发兵，此次进军青海对蒙古产生了深远影响，就比如将黄教引入蒙古等，这个就与本题无关，不做赘述。
以下从明朝的角度来看。
第一、避免了漠南右翼蒙古和漠南左翼蒙古联合进犯，使边防压力顿减，财政危机也得到缓解。
在嘉靖去世后，给隆庆朝留下了一个边防全面吃紧，国库十分空虚的烂摊子，据户部尚书马森所言，财政吃紧，太仓银两仅仅能支持开支三个月，“今计仅足三月”，状况实在恶劣。
而与右翼蒙古开市罢战，则能有效缩减边防费用，有利于财政赤字的扭转，所谓“数千里军民乐业，不用兵革，岁省费什七”。就是说西北边防费用节省了十分之七，据张居正所言更是达到了百万余两，“据三镇二岁之中，所费不过万余，而所省已百余万”。出于减少军费开支而与土默特部和解，明廷也是非常乐意的。
第二、可以利用开市机会修整战备。
以高拱为首的内阁之所以全力支持通贡互市，与其的边防策略相关，以往在右翼蒙古大规模骚扰，明军的边防工事、屯田难以顺利修建实施，正好趁通贡机会重新整备边防。“边境有数十年之安，则宣大山西残破之城堡，可以渐充实，荒芜之屯田，可以渐开耕”。这个看法，明廷内阁和地方大员有一致性。
《伏戎纪事》：而今且得宁息，乘暇修吾战守之备，备既修，则伸缩在我。
第三、通过和议通贡除掉“板升”这个心腹大患。
“板升”是土默特境内蒙、汉人民的聚居地，为土默特部提供了包括粮食等物资的产出，其中里面的汉族居民成分比较复杂，既有明朝边军的叛徒，又有白莲教徒，有被右翼蒙古掳掠来的人口，也有在明境内破产逃避赋税的百姓，俺答委托于赵全等叛人管理，而赵全等人由于经营的板升首先就提高了土默特部的军事力量“教以攻取之术，多诱华人为彼工作，利兵坚甲，云梯冲竿，尽其机巧，而沿边无坚城矣”。
不仅如此，此辈最怕明、蒙关系好转（一旦好转，蒙古人便有可能将他们交出），竭力挑唆俺答攻掠明境，而他们由于熟悉关内的情况，也成为了俺答的首席参谋，“内大举进寇，俺达必先至产生，于全家置酒大会，计定而后行”。明廷对板升深恶痛绝，张居正就直言道“西北边患，无大于板升”。而在隆庆和议之后，完成封贡互市，赵全等人再无价值，那些叛人被俺答擒绑来献，板升的汉人也渐渐南归。
所以，“隆庆和议”对右翼蒙古与明廷来说，怎么看都是双赢的局面，自俺答封贡后，明西北边境取得了长达30余年的和平。
引用文献：《明经世文编》、《明史》、《张太岳集》、《国榷》、《伏戎纪事》、《蒙古源流》、《蒙古黄金史纲》、《四夷考》、《明史纪事本末》