基于正则化的回归：岭回归和套索回归

在多元线性回归中，多个变量之间可能存在多重共线性，所谓多重，就是一个变量与多个变量之间都存在线性相关。首先来看下多重共线性对回归模型的影响，假设一下回归模型

y = 2 * x1 + 3 * x2 + 4

举一个极端的例子，比如x1和x2 这两个变量完全线性相关，x2=2*x1, 此时，上述回归方程的前两项可以看做是2个x1和3个x2的组合，通过x1和x2的换算关系，这个组合其实可以包括多种情况，可以看看做是8个x1, 4个x2, 也可以看做是4个x1和2个x2的组合，当然还有更多的情况

y = 8 * x1 +4
y = 3 * x1 + 2 * x2 + 4
y = x1 + 3.5 * x2 + 4
y = 4 * x1 + 2 * x2 +4
y = 4 * x2 + 4

在x1和x2完全线性相关的情况下，以上方程都是等价的，在这里举这个完全线性相关的例子，只是为了方便理解当变量间存在线性相关时，对应的系数会相互抵消。此时，回归方程的系数难以准确估计。

在最小二乘法的求解过程涉及逆矩阵运算，一个矩阵可逆需要符合行列式不为零或者矩阵满秩，当变量存在多重共线性时，对应的矩阵不满秩，就会导致无法进行逆矩阵运算，也会对简单最小二乘法造成影响，尽管仍然可以通过伪逆矩阵运算来求解。

对于多重共线性的情况，如果执意用最小二乘法来求解，会发现，随着变量相关性的增强，回归系数的方差会变大，用一个示例的例子来验证一下，代码如下

>>> x = np.arange(0.6, 1.0, 0.05)
>>> beta1 = []
>>> for i in x:
... data = np.array([[i, 2], [2, 4], [4, 8]])
... target = np.array([1, 2, 3])
... reg = linear_model.LinearRegression().fit(data, target)
... beta1.append(reg.coef_[0])
...
>>> plt.plot(x, beta1, 'o-')
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x13633580>]
>>> plt.show()

输出结果如下

x轴是自变量的取值，x不断增大，上述拟合结果中的自变量之间的相关系数也不断增强，可以看到，随着相关性的增强，回归系数的变化速率越来越快。而对于两个完全独立的变量而言，而拟合结果是恒定不变的，方差为0，而多重共线性则导致拟合结果随着相关系数的变化而变化，回归系数的方差变大了。

为了解决多重共线性对拟合结果的影响，也就是平衡残差和回归系数方差两个因素，科学家考虑在损失函数中引入正则化项。所谓正则化Regularization, 指的是在损失函数后面添加一个约束项， 在线性回归模型中，有两种不同的正则化项

1.所有系数绝对值之和，即L1范数，对应的回归方法叫做Lasso回归，套索回归

2.所有系数的平方和，即L2范数，对应的回归方法叫做Ridge回归，岭回归

岭回归对应的代价函数如下

套索回归回归对应的代价函数如下

从上面的公式可以看出，两种回归方法共性的第一项就是最小二乘法的损失函数，残差平方和，各自独特的第二项则就是正则化项， 参数 λ 称之为学习率。

对于岭回归而言，可以直接对损失函数进行求导，在导数为0处即为最小值，直接利用矩阵运算就可以求解回归系数

对于套索回归而言，损失函数在w=0出不可导，所以没法直接求解，只能采用近似法求解。在scikit-learn中，有对应的API可以执行岭回归和套索回归

1. 岭回归

>>> data = np.array([[0, 0], [0, 0], [1, 1]])
>>> data
array([[0, 0],
       [0, 0],
       [1, 1]])
>>> target = np.array([0, 0.1, 1]).reshape(-1,1)
>>> target
array([[0. ],
       [0.1],
       [1. ]])
>>> from sklearn import linear_model
# 岭回归
>>> reg = linear_model.Ridge(alpha=.5).fit(data, target)
>>> reg
Ridge(alpha=0.5)
>>> reg.coef_
array([[0.34545455, 0.34545455]])
>>> reg.intercept_
array([0.13636364])

2. 套索回归

>>> reg = linear_model.Lasso(alpha=.5).fit(data, target)
>>> reg
Lasso(alpha=0.5)
>>> reg.coef_
array([0., 0.])
>>> reg.intercept_
array([0.36666667])

对于这两种回归而言，学习率的设置对拟合结果有较大影响，在实际分析中，需要根据模型的验证效果来选取最佳的学习率值。为了更加方便的探究最佳学习率，内置了留一法交叉验证的API, 用法如下

>>> from sklearn.datasets import make_regression
>>> X, y = make_regression(noise=4.0, random_state=0)
# 岭回归
>>> reg = linear_model.RidgeCV(alphas=np.logspace(-6, 6, 13)).fit(X, y)
>>> reg.alpha_
0.01
# 套索回归, 两种方法
# LassoCV
>>> reg = linear_model.LassoCV(cv=5).fit(X, y)
>>> reg
LassoCV(cv=5)
>>> reg.alpha_
0.3964179552011309
# LassoLarsCV
>>> reg = linear_model.LassoLarsCV(cv=5).fit(X, y)
>>> reg
LassoLarsCV(cv=5)
>>> reg.alpha_
0.048432240696248796

对于存在多重共线性的病态数据，可以使用岭回归和套索回归来限制多重共线性对拟合结果的影响。

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