图解普林斯顿微积分(重制) 08：指数函数和对数函数

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本章的主要内容:
- 回顾指数函数和对数函数的基本知识, 以及两者是如何相互关联的;
-

的定义和性质;
- 如何对指数函数和对数函数求导;
- 如何求解涉及指数函数和对数函数的极限问题;
- 对数函数的微分;
- 指数增长和指数衰变;
- 双曲函数.

▌9.1 基础知识

首先需要掌握三点:指数运算法则、对数和指数的关系, 以及对数运算法则.

9.1.1 指数函数的回顾

例如, 数

是一个底数为

, 指数为

的幂. 指数运算法则告诉我们指数函数如何运算的:

至于指数函数的图像, 可以查看第一章的内容, 跳转链接.
9.1.2 对数函数的回顾

对数(Logarithms), 比如想要求解

中的

, 需要对方程两边取对数. 由于左边的底数是

, 对数的底就是

. 于是方程的解就是:

符号解释:

9.1.3 对数函数、指数函数及反函数
关注两者的关系, 请直接看下面的动图图片吧.

9.1.4 对数运算法则

▌9.2 

 的定义

9.2.1 一个有关复利的问题

请查看这篇《自然常数 e 的故事》文章中的内容, 跳转链接>>>.

注意: 因为以

为底的对数是如此常见, 所以经常会用

, 而不是

来表示(读

的自然对数). 底数为

的对数称为**自然对数**.

▌9.3 对数函数和指数函数求导

▌9.4 求解指数函数或对数函数的极限

▌9.5 取对数求导法

取对数求导法是一个有用的技巧, 可以处理这样

这样底数和指数均为

的函数的导数问题. 下面的例子:

▌9.7 双曲函数

双曲函数是伪装的指数函数, 并且在很多方面又和三角函数非常相似.

除了

双曲余弦函数和

双曲正割函数是偶函数外, 所有的双曲三角函数都是奇函数. 这和原来常规的三角函数的情况相同!