数学建模视频课程第2辑 经典模型精析
图 1 第 2 辑各讲逻辑承接框图，读者可以参考此图制定个性化学习顺序.
第 14 讲：药剂量模型（1）
—— 医院给药时间表的设计
内容要点：
学好数学建模的三个必备条件：明确目的、掌握方法、积累经验。 好的数学模型符合APP原则：Applicable（可应用）, Provable（可证明）, Publishable（可推广）。 在面对多阶段问题进行建模时，可先考虑单阶段内的行为，再通过阶段之间的递推关系得到整体行为。这其实是数学上由局部到整体、由简单到一般的思想的体现。 极限的意义在于可以用当前的规则窥探未来的稳定状态。 很多社会问题的产生，都在于没有站在双方的角度完善制度，数学建模在公共行业的使用可以改善这一点。
学习目标：
了解数学建模的APP原则。 能够建立单次给药模型，并能计算此情况下的血药浓度解析式。 能够建立不同次给药状态之间的递推关系，并能求出通项公式。 能够列出约束方程，并描述清楚方程的现实意义。
基于高中课内内容：
指数函数 导数 数列递推
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第 15 讲：药剂量模型（2）
—— 生长素浓度对植物生长的影响
内容要点：
其它学科当中充满着有待数学建模解决的问题，数学建模也是数学跨学科应用的最优良载体。 当数据建模失去方向时，机理建模就是一个好的选择。 在机理建模时，需要从背景学科理论出发，综合使用自然语言、符号语言和图形语言来分析问题，这也是数学语言的三种形式。往往通过这三种形式之间的转化，就能够看清问题的本质难点，这个过程体现了数学作为语言的特性。 “大数据”并非只是意味着数据量大，即时性和多样性也是其核心特征。数据的多样性往往是模型有效性的关键，而数据的即时性是大数据市场价值的主要体现。
学习目标：
能够选取适合的数据坐标作图，避免落入散点图陷阱。 能够完成机理建模并解出解析解。 能够通过线性化方法完成参数拟合。 了解大数据的3V特征及其意义。
基于高中课内内容：
指数函数 导数 最小二乘法
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第 16 讲：军备竞赛模型（1）
——两种结果和一种方法
内容要点：
军备竞赛模型是微分动力系统建模的一个范例。 分析微分动力系统一个强有力的方法就是向量场分析，它分为5个步骤，关注相平面内点的运动趋势。 临界状态是非常重要的，正是利用临界线才能将相平面分成若干板块，使得每个板块具有相似的运动规律。 再一次地，现实问题的解决转化为几何上的观察。同样地，数学结论和现实情境之间的相互转译是数学能力的集中体现。 军备竞赛模型不是仅仅只能用来描述军备竞赛，也可以用于项目竞标、企业竞争，甚至找对象当中。
学习目标：
能够建立并解释军备竞赛模型。 能够对军备竞赛模型进行向量场分析。 能够解释向量场分析的结果的现实意义。
基于高中课内内容：
导数 向量 不等式
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第 17 讲：军备竞赛模型（2）
——更多的向量场
内容要点：
在同一个含参微分动力系统中，不同的参数选取可以形成不同的向量场。 在分析向量场性态的时候，借助计算机描绘出它的大致图像是非常有助于后续的数学证明的，因为它为证明提供了方向。 在向量场中，有可能出现稳定平衡点、不稳定平衡点、半稳定平衡点、稳定极限环、不稳定极限环、半稳定极限环，甚至湍流。具体会出现什么形态，需要结合数学证明给出严格分析。其中最难分析的是湍流，需要更为高等的数学工具。 对生活的启迪：社会是一个场，人是场中一点，通过努力去改变身处的场，以场动促点动，使得自己能够朝向希望的方向流动，这才是理想和现实最真切的结合方式。
学习目标：
能够证明基本动力系统（前四个）的向量场形态。 了解因向量场参数变化造成的对称性。 能够判断稳定平衡点、半稳定平衡点、不稳定平衡点、孤立平衡点、稳定极限环、半稳定极限环、不稳定极限环。
基于高中课内内容：
导数 直线和圆 双曲线 平面向量
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第 18 讲：SIR传染病模型（1）
—— 模型的建立与演绎
内容要点：
传染病模型的建立关键是将人群依据感染阶段分为若干容易被监测的部分，并且找到各部分之间的动力学关系。这种“将整体分为若干部分挖掘其动力学内涵”的思路对于很多数学建模问题都很适用。 传染病模型针对的是没有潜伏期的疫情，对于2020年初爆发的新冠状病毒疫情不适用。SEIR模型的E代表潜伏期人数，更加适用于新冠疫情。 欧拉近似法是连续系统离散化的经典方法，其代价是引入了新的参数∆t。无论进行任何数学变换，这个参数的影响也只能被削弱或转移，而无法被消除。 传染病模型的意义在于机理、预测和防控指导。参数的变化取决于现实中疫情防控的措施和力度。
学习目标：
能够建立并解释SIR模型。 能够通过最小二乘法拟合离散化后的模型参数。 了解欧拉近似法的原理。
基于高中课内内容：
导数 数列递推 最小二乘法
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第 19 讲：SIR传染病模型（2）
——欧拉近似法几何意义及精度估计
内容要点：
SIR传染病模型的参数拟合从原理到实践需要掌握。 欧拉近似法的几何意义是将光滑函数的瞬时变化率当作相对应的折线近似函数每段的平均变化率。 利用函数的凹凸性可以得到对于欧拉近似法精度的估计，由于我们实际上无法知道原函数，所以采用了构造了两个近似函数分别位于原函数两侧，将原函数夹在这两个近似函数中间的方法。这种处理办法也是微积分中很多不等式的证明方法。 在得到最初版的自适应步长公式后，还要考虑为了工程应用应该做哪些算法层面的调整。所有的数学结论要应用在工程实践中，都必须进行算法化。
学习目标：
能够描述欧拉近似法的几何意义。 能够给出欧拉近似法的精度估计。 能够推导欧拉近似法步长与精度之间的关系。
基于高中课内内容：
导数 数列递推 不等式
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第 20 讲：SIR传染病模型（3）
—— 欧拉近似法及其自适应改进
内容要点：
步长的影响无法消除，最多只能转移或削弱。自适应步长的本质是通过将Δt转移到新参数c，削弱了步长选取对近似效果的影响。 子使用步长方法的本质是在平缓的地方步长放大，而在急转的地方步长缩小，这种方法借鉴于赛车在赛道上“直道快、弯道慢”的表现。所以数学上和工程上的很多进展都源自于对于生活的观察，科学智慧的本源来自于对自然的敬畏和光阴中的生活智慧。
学习目标：
了解欧拉近似法的自适应改进方法。 了解数学结论算法化过程中的注意事项。
基于高中课内内容：
导数 数列递推 不等式
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第 21 讲：生态模型（1）
——竞争关系模型
内容要点：
数学建模不仅可以应用于生活和生产，也可以用来揭示大自然奥秘。 对于某些规模较大（含有多个分支情况和推广空间）的数学模型，建模时最好首先规划出研究路线图，并在其中预设出研究的方法和进度。 奥卡姆剃刀原理，也就是简单有效原理，在数学建模中有非常重要的指导意义，它有三层含义，分别对应了“是否需要增加模型复杂度”、“何时增加模型复杂度”和“增加多少模型复杂度”。 所有的模型都需要和真实情况进行对比，模型中的代数结构其实是自然现象的信息转译。 从根本上说，决定了自然界运行规则的逻辑法则，隐藏在纷繁复杂的几何世界中。这种几何源头一般非数学不可察，非建模不可及。
学习目标：
能够建立并解释二元竞争关系模型。 能够对二元竞争关系模型进行向量场分析并解释结果的现实意义。 了解奥卡姆剃刀原理的哲学内涵及其在数学建模中的应用。
基于高中课内内容：
导数 平面向量
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第 22 讲：生态模型（2）
——捕食关系模型
内容要点：
捕食关系的动力学关系和竞争关系不相同，尤其是被捕食者对捕食者的影响，以及捕食者对自身的影响上，和竞争关系均有不同。 向量场分析虽然是一个很好的办法，但是涉及到孤立平衡点和闭轨的判定，不能够仅凭直观观察，还需要进行理论证明。 欧拉近似法的近似精度因为受步长Δt影响，所以无法通过欧拉近似法判定闭轨的存在。此处可以使用自适应的欧拉近似法，效果会增强一些，但是依然无法作为判定闭轨的严格依据。 不同的向量场反映的规律截然不同，虽然在短期内有时不会有过大的差别，但是一直演化下去就会造成差异巨大的结果，这就是时间这个维度的力量。 从数学形式化的角度来说，在捕食关系中，是看不出谁是捕猎者谁是被食者的。这其中不仅蕴含着闭轨的证明，也蕴含着生态循环的哲学内涵。
学习目标：
能够建立并解释二元捕食关系模型。 能够对二元捕食关系模型进行向量场分析并解释结果的现实意义。 能够推导二元捕食关系模型向量场动点轨迹方程。 了解欧拉近似法的局限性。
基于高中课内内容：
导数 平面向量 数列递推 解析几何（轨迹方程）
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第 23 讲：生态模型（3）
——闭轨证明
内容要点：
闭合曲线的证明是一个比较综合的证明，但是用到的方法都是很初等的方法，这个证明从原理到操作都需要掌握。同种思想方法在数学上应用广泛。
学习目标：
能够独立证明二元捕食关系模型的动点轨迹为闭轨。
基于高中课内内容：
导数 不等式 解析几何（轨迹方程）
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第 24 讲：生态模型（4）
——Volterra原理
内容要点：
仅仅是闭合轨迹不能说明运动的周期性，还需要考察速度和位置、时间的关系，同样的闭合轨迹有可能是个环状加速器。 考察呈周期性的连续变化量的平均水平，可以通过完整周期内的积分与周期的比值来观察，这其实是算术平均数在连续形式下的推广。 捕杀行为会改变模型的参数形态，但是到底如何调整参数，不仅仅需要从数学上考虑，还要从问题的背景去考虑。 Volterra原理是和直觉相违背但是又非常重要的生态学原理，这里体现了“非数学不可察”，即不用数学建模很多深刻的原理很难挖掘出来或需要使用很大代价（时间、空间）才能挖掘出来。这体现了数学建模乃至数学的重要作用。
学习目标：
能够区分周期闭轨运动与非周期闭轨运动。 能够计算连续周期函数在一个周期内的平均值。 能够解释持续捕猎下的方程形式变化，并求出新的平均值。 能够论述Volterra原理
基于高中课内内容：
导数 不等式 解析几何（轨迹方程） 简单定积分
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第 25 讲：生态模型(5)
—— 食物链的必要性证明
内容要点：
三个物种之间的生态模型是二元情况的推广，所以需要首先搞清楚二元模型在不同关系下的异同，即竞争和捕食在方程形式上的反映。 借助欧拉近似法作为初步的观察是一个好的策略，但是不能够代替理论分析和证明，因为欧拉近似法作图只能反映特定参数在特定步长下的规律。 三视图思想在几何上有非常重要的应用，但是对方程先投影再描绘曲线，并不等价于先描绘方程曲线再做投影，实际上反映了“投影”和“解方程”这两种数学操作的不可交换性。 从初始位置开始分阶段地借助投影图来观察运动趋势，是一种定性分析下的科学方法。对于更高维度的分析可以类似进行。 生态模型相当于给出了生物链存在的必要性，但是并没有给出充分性。实际上食物链的充分性中含有更多的伦理内涵，比如：人类在生物链中的角色。
学习目标：
能够完成二维情形到三维情形的推广。 能够用欧拉近似法画出三维情形的近似轨迹。 了解投影方程方法，并能够解释和定性还原三维轨迹形态。
基于高中课内内容：
导数 空间向量 不等式
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第 26 讲：第2辑梳理与总结
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作者说明
本系列视频是《数学建模视频课程》，配套国家课程标准，只需高中课内知识水平即可掌握，适合全国高中生及低年级本科生学习。
本视频课程共企划为 4 个专辑，在开发期间陆续通过 B 站公开发布。
本课程配套教材《面向建模的数学》将于 2020 年 6 月份前后由清华大学出版社出版，该书由林群院士作序，张平文院士和国家课标组长王尚志教授作推荐词。
欢迎各位朋友关注和交流。
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