《測圓海鏡》勾股形天日旦﹝6﹞及日山朱﹝7﹞之相關恆等式說

《測圓海鏡》勾股形天日旦﹝6﹞及日山朱﹝7﹞之相關恆等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第6勾股形天日旦相關之等式。因第7勾股形日山朱與天日旦全等，故日山朱所涉及之等式與天日旦完全相同。

關鍵詞：髙弦、髙股、髙勾、天日旦、日山朱

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”之〈識別雜記〉主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形“天地乾”之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞，或稱之為通勾、通股、通弦，以後者為常用。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”：

本文談及之勾股形乃“天日旦”及“日山朱”﹝見上圖﹞，亦即上兩圖帶紅色之四勾股形，天日旦之斜邊“天日”是為上髙弦，其直角為 6，以 6 之位置為 “旦”，其勾股與弦分別為  a₆、b₆ 與 c₆。日山朱之斜邊“日山”是為下髙弦，其直角為 7，以 7 之位置為 “朱”，其勾股與弦分別為  a₇、b₇ 與 c₇。

因為天日旦及日山朱兩勾股形全等，所以 a₆ = a₇ 、b₆ = b₇ 與 c₆ = c₇。《測圓海鏡》並稱兩勾股形之弦為“髙弦”，勾為“髙勾”及股為“髙股”。

為方便起見，本文只談及天日旦三邊 a₆、b₆ 與 c₆ 之等式，顯然諸等式於勾股形日山朱﹝三邊 a₇、b₇ 與 c₇﹞亦合用。

以下為天日旦及日山朱勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

髙勾﹝即日旦或山朱﹞：a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

髙股﹝即天旦或日朱﹞：b₆ =

=

( a₁ +b₁ – c₁) 。

髙弦﹝即天日或日山﹞：c₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。

注意 a₁ + b₁ – c₁ 是為內容圓徑﹝即東南西北之圓，見上圖﹞。

與髙弦﹝勾股形天日旦 (6) 或日山朱 (7)﹞有關之等式：

髙弦上勾股和為髙弦虛股共。又為一徑及髙勾髙股差也。其較則底弦內減大勾也。又為邊股內減底股也。勾弦共則底股。其較則明股也。股弦共即邊股。其差則

股也。弦較共則大差股。其較則小差股也。三事和即大股。其較則虛股也。又為小差上勾弦較。又為明弦上弦較較。

(1)   髙弦上勾股和為髙弦虛股共。

髙弦上勾股和 = a₆ + b₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(1 +

)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁) 。

又已知虛股 = b₁₃ =

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

髙弦虛股共= c₆ + b₁₃

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁) 。

注意：(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)² 乃《測圓海鏡》之重要恆等式。

所以髙弦上勾股和 = 髙弦虛股共。

(2)   又為一徑及髙勾髙股差也。

“一徑”指大圓徑 a₁ + b₁ – c₁。

髙勾髙股差= b₆ – a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

一徑及髙勾髙股差 = (a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[1 +

(b₁ – a₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2a₁ + b₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁) 。

所以一徑及髙勾髙股差 = 髙弦虛股共。

(3)   其較則底弦內減大勾也。

“其較”指髙弦上勾股較。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

已知底弦 = c₃ =

(a₁ – b₁ + c₁)，大勾= a₁ 。

底弦內減大勾=

(a₁ – b₁ + c₁) – a₁

=

[c₁a₁ – c₁b₁ + c₁² – 2a₁²]

=

[c₁a₁ – c₁b₁ + b₁² – a₁²]

=

[– c₁(b₁ – a₁) + (b₁ – a₁)(b₁ + a₁)]

=

(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

所以髙弦上勾股較 = 底弦內減大勾。

(4)   又為邊股內減底股也。

已知邊股：b₂ = b₁ –

(a₁ + b₁ – c₁) =

(c₁ + b₁ – a₁) 。

底股：b₃ =

=

(a₁ – b₁ + c₁) 。

邊股內減底股=

(c₁ + b₁ – a₁) –

(a₁ – b₁ + c₁)

=

(a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² – b₁a₁ + b₁² – b₁c₁)

=

(a₁c₁ – a₁²+ b₁² – b₁c₁)

=

(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

所以髙弦上勾股較 = 邊股內減底股。

(5)   勾弦共則底股。

髙弦上勾弦共=c₆ + a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

+ 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

=

[b₁ –(c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

=

[b₁c₁ + b₁a₁ – c₁² + a₁²]

=

[b₁c₁ + b₁a₁ – b₁²]

=

(a₁ – b₁ + c₁) 。

已知底股：b₃ =

=

(a₁ – b₁ + c₁) 。

所以髙弦上勾弦共 = 底股。

(6)   其較則明股也。

“其較”指髙弦上勾弦較。

髙弦上勾弦較=c₆ – a₆=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁)

=

[b₁ –(c₁ – a₁)](c₁ – a₁)

=

(b₁c₁ – b₁a₁ – c₁² – a₁²+ 2c₁a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

明股 = b₁₄ =

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

所以髙弦上勾弦較 = 明股。

(7)   股弦共即邊股。

髙弦上股弦共=c₆ + b₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

( a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁)

=

[a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

=

(a₁c₁ + a₁b₁ – c₁² + b₁²)

=

(a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²)

=

(c₁ + b₁ – a₁)。

已知邊股：b₂ = b₁–

(a₁ + b₁ – c₁) =

(c₁ + b₁ – a₁)。

所以髙弦上股弦共= 邊股。

(8)   其差則

股也。

“其差”指髙弦上股弦差。

髙弦上股弦差 = c₆ + b₆=

(a₁ + b₁ – c₁) –

( a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)

=

[a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ – b₁)

=

(a₁c₁ – a₁b₁ – c₁² – b₁²+ 2c₁b₁)

=

(a₁c₁ – a₁b₁ – a₁² – 2b₁²+ 2c₁b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

已知

股 = b₁₅ =

=

(a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ –2b₁² + 2b₁c₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

所以髙弦上股弦差 =

股。

(9)   弦較共則大差股。

“共”，和也。髙弦上弦較共 = c₆ +(b₆ – a₆) = c₆ + b₆– a₆

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

[b₁ – (c₁ – a₁)](b₁ + c₁ – a₁)

=

[b₁² – (c₁ – a₁)²]

=

(b₁² – c₁² – a₁²+ 2c₁a₁)

=

(– 2a₁² + 2c₁a₁)

= c₁ – a₁。

已知大差股 = b₁₀= b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = b₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – a₁。

所以髙弦上弦較共 = 大差股。

(10)   其較則小差股也。

“其較”指髙弦上弦較較。

髙弦上弦較較 = c₆ – (b₆ – a₆) = c₆– b₆ + a₆

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

[a₁ – (c₁ – b₁)](a₁ + c₁ – b₁)

=

[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=

(a₁² – c₁² – b₁²+ 2c₁b₁)

=

(– 2b₁² + 2c₁b₁)

=

(c₁ – b₁) 。

已知小差股 = b₁₁ =

=

(c₁ – b₁) 。

所以髙弦上弦較較 = 小差股。

(11)   三事和即大股。

髙弦上三事和﹝即弦和和﹞= c₆ + b₆ + a₆

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=

[a₁ – (c₁ – b₁)](a₁ + c₁ + b₁)

=

[a₁² + a₁c₁+ a₁b₁ – a₁c₁ + a₁b₁ – c₁² + b₁² ]

=

[a₁² + 2a₁b₁ – c₁² + b₁² ]

=

[2a₁b₁]

= b₁

= 大股。

(12)   其較則虛股也。

髙弦上三事較 = 弦和較 = (a₆ + b₆) – c₆= a₆ + b₆ – c₆

= –

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(– c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

[a₁² + b₁² + c₁² + 2a₁b₁ – 2a₁c₁ – 2b₁c₁]

=

[2c₁² +2a₁b₁ – 2a₁c₁ – 2b₁c₁]

=

(c₁² +a₁b₁ – a₁c₁ – b₁c₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

已知虛股﹝又稱太虛股﹞= b₁₃ =

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以髙弦上三事較 = 虛股。

(13)   又為小差上勾弦較。

已知小差勾 = a₁₁= a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = c₁ – b₁。

小差弦 = c₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

小差上勾弦較 =

(c₁ – b₁) – (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(

– 1)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以髙弦上三事較 = 小差上勾弦較。

(14)   又為明弦上弦較較。

已知明勾 = a₁₄=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

明股 = b₁₄=

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

明弦 = c₁₄=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

明弦上弦較較 = c₁₄ – (b₁₄ – a₁₄)= c₁₄ – b₁₄ + a₁₄

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

–

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

]

=

(c₁ – a₁)[a₁ – (c₁ – b₁)](a₁ + c₁ – b₁)

=

(c₁ – a₁)[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=

(c₁ – a₁)[a₁² – c₁² – b₁² + 2c₁b₁]

=

(c₁ – a₁)[ – 2b₁²+ 2c₁b₁]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以髙弦上三事較 = 明弦上弦較較。

以下為《測圓海鏡細草》原文：