关于模态分析的一些问题(一)

谐响应分析为什么可以使用模态叠加进行求解?
谐响应分析是个动力学问题,因此几乎每一本振动力学的书籍都会提到如何计算,而在大学里本科阶段一般的专业对此并没有较深入的教学,如果没有自学,而有限元软件教学的书籍通常也不会讲,所以就出现了上面的问题。下面将书上的内容摘于此处,并对其中部分加以解释。
单自由度受迫振动

一个单自由度受迫振动的基本模型、受力情况以及振动方程如图示(单自由度:仅竖直方向的平动自由度)

上述微分方程的通解分为两部分:有阻尼自由振动方程的通解+有阻尼受迫振动的特解。小阻尼自由振动,其方程的通解为:

正弦曲线的幅值受到随时间衰减的指数函数控制,因此随着时间逐步发展,其振幅逐渐减小,直至最终自由振动消失(没有明显的自由振动,毕竟指数函数无限接近水平轴,但是却又不是水平轴,所以理论上振幅还是存在),该函数的曲效如下图所示:

小阻尼受迫振动,其方程的特解为:

小阻尼受简谐振动微分方程的特解还是一个谐函数,且该谐函数的频率与激振频率一致,振幅、相位取决于系统自身的固有属性和激励幅值。让人比较好奇的是,大多数分析说的是激励,而谐响应,细品,居然说的是响应。激励与响应具有同样的特性,都是谐函数。

实际上受到稳态激励的作用,其响应包括三部分组成:第一部分由初始条件产生的自由振动、第二部分由简谐激励力产生的受迫振动,第三部分是伴随受迫振动产生的自由振动。由于系统中存在的阻尼,随时间变化,在一开始产生的自由振动以及伴生自由振动(伴随受迫振动产生的自由振动)逐渐消亡,仅留下稳态受迫振动部分。因为谐响应关注的是稳态响应,开始的两类并不考虑。

方程耦合

接触模态常听到“耦合”二字,那什么是耦合呢,前前后后也问过许多人,可真的是没有弄清楚,现在还是。但是现在找到了合适的理解方法,哪怕只能意会,也可以。耦合,想到的是“藕断丝连”,即多个对象(广义的对象)相互联系作用的一种关系。观察下面这个例子就可以意会了:

这是一个二自由度系统,其振动微分方程如下所示:

将上述微分方程写成矩阵的形式,得到如下:

上面的矩阵,除了质量矩阵外,刚度与阻尼矩阵都不是对角矩阵。而在实际的多自由度系统中,质量、刚度、阻尼通常都不是对角矩阵。为什么要提到对角矩阵呢?由线性代数计算可知,非对角矩阵展开的方程组都是联立在一起的,必须联立才能求解;而对角矩阵展开以后都是一行对应一个方程,每个方程组可以单独求解,显然对角矩阵对于求解要方便得多。这种非对角的形式即称为耦合,耦合并不好,不利于计算。

方程解耦

解耦,简单粗暴的理解就是将非对角矩阵转化为对角矩阵。解耦是为了解方程更方便,而模态分析或者模态变换就是这么一种方法。上述方程是否耦合或者说其表现形式:矩阵是否为对角阵,其由描述方程的坐标系统决定的。模态分析就是一种坐标变换,将这种物理坐标所描述耦合关系,变换到模态坐标下,即用模态坐标表达,矩阵对角化了呢。实际过程还是有些复杂,这里简单粗暴的理解下。
下面一个例子很简洁的描述了这样的一个效果,用不同的坐标表示,矩阵的形式不同:

要使得矩阵对角,就需要刚度矩阵的左下与右上元素为零,显示不存在这样的条件,因此上述问题使关于刚度的耦合。改用坐标表达:

观察质量矩阵和刚度矩阵,已经是对角矩阵了,在对角矩阵的情况下,显然求解更容易的。在阻尼里面有一个Rayleigh模型,其并不具有实际物理意义,仅仅是为了计算方便,而这个方便即是阻尼矩阵对角化,你要是提出一个更容易对角化的阻尼表示方法也是可以的,完全可以盖过这位前辈,还没听说有更好的办法。

模态叠加

无阻尼受迫振动方程如下所示:

利用阵型变换上述方程:

上面这样变化做什么用的,有了前面一部分知识估计也能猜得出来,没错,就是为了获得对角矩阵,或者说矩阵对角化。上面的方程不管怎样去变化,都离不开三个:质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵。那你说变换就变化,你说对角化就对角化呢?我不服

。矩阵能不能对角化,以及如何对角化,这个是线性代数的内容,所以要研究三个矩阵是否满足这些条件。如果展开细讲,就涉及到了矩阵的正定判别,矩阵正交化、单位化,而巧就巧在三个矩阵通常都是正定矩阵或者半正定矩阵,且向量之间满足正交性,是不是挺嗨的

。至于更详细一点的内容,在往后找其它问题的答案再一并叙述。

正则化:

正则化以后的方程进行展开:

上述方程是一个解耦以后的(独立的)方程组,与单自由度受迫振动系统是一样的。如此看来,到这里即是求n个单自由度受迫振动方程,求解相比一开始的耦合方程要方便得多,这里体现出模态变换的优势。但它的弊端也是十分明显的,计算的结果是模态坐标下的,即你得到的结果并不是物理坐标下,需要进一步变换回来。根据下列关系式计算原始坐标下的响应:
看书看到这里我还是有点疑惑啊,这上面算是基本上清楚了大致的变换流程与目的,可是叠加呢?

估计是最后这一茬。在一个实际的系统当中(对于一个连续体)是由无数个自由度的,就算是有限元求解经过了有限的离散,自由度有时候也并不少。按照上面的过程,如果要得到一个精确解(抛开各种假设以及有限元近似等问题,仅考虑上述方程组),是需要计算所有的自由度的,这意味着沃恩需要计算所有的模态振型才可以。实际情况下并不需要如此,仅需要一部分,可是为什么这样就可以呢?有时候为了在减少计算量的情况下不过分削弱模态截断的误差,软件也会提供许多的手段。

需要注意的是,在经过模态变换以后,方程的量都处在模态坐标下。因此,矩阵方程都变成模态坐标的表示方法,包括等式右侧的载荷。在一些地方称之为模态载荷,是实际载荷在模态空间上的投影。上面说到的模态截断指的是,由于我们只是使用一部分模态进行叠加,因此总会有一个选择范围截至位置,称之为截断。

为什么计算应力应变需要更多的模态?

结构计算的基础是位移,上述动力学方程中的{x},谐响应分析的响应(位移)是谐函数,应变也是谐函数。要获得相对精确的应力应变,必须需要获得正相对精确的位移函数。为了获得不错的位移精度,对模态的数量是有一定的要求,也就是数量相对合适的模态振型才能叠加出相对精确的谐响应位移函数。

根据学习之初关于应力应变与位移的关系可知,如果应力要足有的精度,则位移函数要足够精确(形状函数)。位移函数描述的是结构的形态,这意味着位移函数会更复杂(多项式的阶数更高)。结构的形态的复杂度显然是不能仅由较少的几个低阶模态振型叠加出来,这是因为低阶振型通常较简单,而高阶振型相对复杂。要描述一个复杂的曲边区域,要么给与足够多的简单函数,要么给予足够复杂的基底函数,高阶模态相当于更复杂的基底函数。至于哪一阶占有多大的地位,这个在之前已经提到。下面简单看个例子,看看低阶与高阶模态振型的差别。

红色区域变形相对于蓝色更大,外圈固定的情况下得到上面的一些振型分布。

为什么有限的模态振型可表达动力学响应?

这里是指相比较有限的自由度,提取的振型很少。高阶模态到底被肿么了,为什么不被看重了呢

看部分书上提到一个东西,说模态叠加的使用是有限制条件的,你以为要说的是线性关系么,完全不是。貌似说的是系统的响应主要是有限低阶振型主导、阻尼不能太大。
这里提到的两个点有点不解,阻尼还好一点。为什么说阻尼好受一点呢,前面已经提到:谐响应的稳态受迫振动响应是谐函数的基础要求系统是处于小阻尼状态,这个是容易理解的。而系统的响应主要由低阶主导我不太明白,是否存在折或者什么情况下系统的响应可能由高阶主导,亦或者说系统的响应受高阶影响较大,想到这里一脸懵啊,这是啥。。。。

想必在特定的结构下或者特定材料或许存在,尽管尚未有资料提它。毕竟在材料力学里面学到泊松比以后,常识告诉我们它应该是个正数,而实际呢,是存在着泊松比为负的材料。what?医美已经颠覆了“五官”,现在复材来颠覆我们的“三观”(认知观、科学观、席位待定

在书上经常会遇到大概这么一句话,说低阶频率时,有无阻尼其频率相差不大,所以爱无阻尼模态。也可能存在着这么一句话,说阻尼对低阶频率响应影响甚低(或者说不敏感),对高阶影响就比较显著了,并且这个话好像是针对小阻尼系统而言的。下面这幅图就十分形象了:

对于小阻尼系统而言(书本上写的是阻尼比1%~10%),即图中最靠近红色线条对应的尖峰曲线。以共振作为区分界限,两侧曲线的平滑度显然是不同的,越往右侧,曲线越是贴近X轴,即幅值下降的越厉害。仔细观察曲线不难发现,在共振界限两侧相等距离同步往两侧排开,左侧显然是平滑一些。如果还是发现不了,观察X轴上的数据0.5和1.5对应的纵向轴数值,其余以此类推。

进一步观察上图,可知随着阻尼逐步增大,曲线在低频区段的开始阶段,幅值就急剧下降,而后相当的平滑,那么是不是可以理解为对于大阻尼系统,无论是低频还是高频均有较大的影响,只不过相对于小阻尼系统在初期对于幅值的抑制更狠一些。无论是小阻尼还是大阻尼,在共振带附近,阻尼对于共振幅值的抑制都十分明显。
那么其实看到这里就很容易理解上面的问题了,绝大部分都能意会了。实际结构系统多数都是小阻尼系统,而上述曲线与分析表明小阻尼系统在高频段幅值的抑制尤为明显,随着频率的提升,幅值近乎消失殆尽,也就是说高阶模态都被阻尼给灭了,因此系统的响应主要是由有限个低阶模态控制或者说主导。
下面是一根悬臂梁的的叠加情况,网上偷的图片

这是1、3、5、7、9模态对于位移的贡献

上图是1到3、1到5、1到7以及1到9阶模态的叠加位移的情况

上图是1到3、1到5、1到7以及1到9阶模态的叠加弯矩的情况

降低激励频率之后叠加唯一的情况

降低激励频率之后叠加弯矩的情况。上图仅从感性角度加以认识,如果要辅以软件数据支撑,工作量不会太少。具体怎么样手动设置叠加可以看周老师的动力学,并且还需要学到谐响应阶段才有比较明显的意义。

感觉动力学可能需要静力学入门的数倍时间才能略窥门径,学静力学关键是材料力学做基础,学动力学关键是振动力学作基础,而动力学应用的基础是谐响应。可是我不太明白为何谐响应分析如此重要呢,它的重要性是怎么体现的。模态分析里面好像有个实部和虚部啥的,还有什么正负表示稳定性的问题,可我还是不明白为什么负值对应着是稳定。谐响应分析似乎有个东东称之为相位,相位怎么样理解呢,什么超前,什么滞后。。。脑壳疼

本完结,待续

注:仅记录学习FEM的一个过程,表达的是个人观点与认识,欢迎一起讨论学习。有疑问可以私,本号没有留言功能,无法互动。本人小白一枚,正在努力的路上

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