从势能最低原理看库仑力参与下的物体系动态平衡条件

1 引言

师生常常将有库仑力参与的系统平衡问题与由轻杆、细线相连的系统平衡问题混为一谈。其实有库仑力参与的系统平衡问题十分复杂，电荷之间的距离、库仑力的大小和方向都在发生变化，稍有不慎，就会顾此失彼。

在命题时，如果命题人不了解库仑力参与下的物体系动态平衡条件，凭想象随意创设物理情景，很容易造成科学性错误。

2 试题回放

如下图所示，MON是固定的光滑绝缘直角杆，MO沿水平方向，NO沿竖直方向，A、B为两个套在此杆上的带有同种电荷的小球，用一指向竖直杆的水平力F作用在A球，使两球均处于静止状态。现将A球向竖直杆方向缓慢拉动一小段距离后，A、B两小球可以重新平衡。

则后一种平衡状态与前一种平衡状态相比较，下列说法正确的是（  ）

A．A、B两小球间的库仑力变大

B．A、B两小球间的库仑力变小

C．A球对MO杆的压力变大

D．A球对MO杆的压力变小

3 参考解析

对于此题而言，C、D选项可以用整体法轻松排除，不再详析。A、B选项确实值得说道。

因为一般而言，当A球向O移动一个小距离后，假设B球位置不变，则B受到的库仑力增大，且库仑力的仰角增大，则库仑力的竖直分量大于B球重力，B球必然上移；B球向上移动后，由于B球重力不变，库仑力仰角增大，库仑力必然减小。

故答案选B。

4 从能量最低原理看库仑力参与下的物体系动态平衡问题

由能量最低原理可知，系统总势能由电势能和重力势能组成，其表达式为

若系统处于稳定平衡状态，系统总势能必须取最小值。为了找到最小值存在的条件，对上式求导，并令导数等于零，可得AO距离x能取的值为

对上式求最大值，可得AO距离x的最大值为

4.1 当x<xmax时

在x<xmax条件下，利用几何画板软件，以两电荷连线仰角为横轴、以总势能为纵轴，绘制总势能曲线如下图所示。

x<xmax

在x<xmax的条件下，系统总势能存在最小值，系统在总势能取最小值处能保持稳定平衡。

但是，需要指出的是，在曲线的左侧，有一个总势能最大的位置，在这个位置上竖直小球受到的合力为零，属于不稳平衡。

如果从力学角度分析，会得到两个平衡位置；如果从能量角度分析，就能发现，一个是稳定的，另一个是不稳定的。

4.2 当x=xmax时

在x=xmax条件下，利用几何画板软件，以两电荷连线仰角为横轴、以总势能为纵轴，绘制总势能曲线如下图所示。

x=xmax

在x=xmax的条件下，系统总势能没有最小值，系统无法保持稳定平衡。

4.1 当x>xmax时

在x>xmax条件下，利用几何画板软件，以两电荷连线仰角为横轴、以总势能为纵轴，绘制总势能曲线如下图所示。

x>xmax

在x>xmax的条件下，系统总势能没有最小值，系统无法保持稳定平衡。

5 结论

系统能保持平衡的条件是x<xmax，其中xmax为