从“王”字到测量日影再到勾股定理的假想
注：以下内容非正式历史或文化研究，封面为元代建的登封观象台，用于圭表测影确定历法（告城镇周公庙内，参考myzaker）。
上一篇文章关于先天八卦的认识中稍有提及圭表测日影确定历法和“王”字的关联，圭表上夏至、春秋分、冬至三条刻度线与子午线或者日影构成“王”字。其实“王”字有许多理解，如斧钺、权杖、“大人”，甚至说文解字中带着儒家特色的解释：
其主要围绕王权进行解释，此处继续“王”字和圭表测日影的理解。从以上说文解字中也看出，“王”字上中间一横距离上一横近得多（中画近上），这在圭表测影说法中非常容易解释，而且符合日影的观察者为坐北朝南的情况（对应王字方向为上南下北）：
看上图，已知夏至到春秋分变化的太阳高度角与春秋分到冬至变化的太阳高度角相同，但是离测杆越远，长度越长，即有圭表上夏至线到春秋分的距离小于春秋分线到冬至的距离。那么“王”字在这一种解释下，就可以理解为掌握日影观测、掌握天文历法的人才能更好管理天下，毕竟我国一直是农业大国，而且自江西仙人洞的稻谷化石至今已经有1万2千年历史，要做好农业就离不开天文历法。另有不同地方的王字写法，都城靠北则“王字”中上两横更靠近，靠南的楚系则不明显，这与圭表测日影的结果较为符合。
再回看前文的说文解字中的“王”字，定量分析三横之间的距离如何呢？个人测量了文章开头图片中2个王字，中画到上下一横的距离之比分别为1:2和1:3（更精确点可以是5:9和3:10，以1:2写法的王字更主流），古人造字会有这么精确吗？或有，或无，但也不会太随意。开个脑洞，试想如果能够确定这个距离比例，利用中学的一点几何知识岂不是可以直接确定发明这个“王”字的古人或文明所在的纬度了？作为娱乐，我们不妨试试。先把几何关系简化为下图：
设北回归线纬度为A0， 发明者的地理纬度为B0，其中有关系如下：
夏至正午太阳高度角： ∠EPF = 90°+A0-B0
春秋分正午太阳高度角：∠EQF = 90°-B0
冬至正午太阳高度角： ∠EPF = 90°-A0-B0
设EF立杆的长度为1个单位，则有：
FP = tan(B0-A0)
FQ = tan(B0)
FG = tan(B0+A0)
利用以上关系去做PQ：QG的比值，并设比值为b，可得：
tan(B0）= 1/tan（A0）* (1-b)/(1+b)
（计算过程就不写了，中学知识足矣，比较简单）
计算结果：
当比值b=1:2时，B0=37.47°~37.56°（两个数据分别用北回归线或地球倾角23.5度和23°26′计算得到），37°可是个大家应该熟悉的角度。
当比值b=1:3时，B0=48.99°~49.07°，快超出中国最北边的边境线了，也不是农业区了，不能用。
则用b=1:2时的情况，B0=37.47°~37.56°，而直角三角形中37°是一种特殊角度（实际角度应为36.87°），正是勾三股四弦五的出处。假设EF=4，B0取37°，则此时这个测日影的几何图中有：
FP = EF * tan(B0-A0) = 0.97
FQ = EF * tan(B0) = 3.01
FG = EF * tan(B0+A0) = 7.05
也即B0在36.87°~37.56°这附近小范围取值时（对应地理纬度的跨度为60~70km），忽略古代长度测量的微小误差，刚好能够使得直角边的各线段全部都是整数长度（这在古代恐怕是很神奇的事情了），且春秋分对应的斜边EQ也为整数，构成勾三股四弦五。这种情况，完全可以成为古代人民发现勾三股四弦五规律的一种来源和说法。
如果继续追寻下去，B0对应的这个位置在哪呢？如果存在，这个时期当早于周朝，算经有载“周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸”，这与西安（西周）相差半寸，与洛阳（东周）完全一致，但西安和洛阳纬度相差不多，都是34°多。同时从一些气候数据知道，周朝以前的夏商时期甚至到更早的时期，地球气候以及中国气候要比周朝更加温暖湿润，中原人类的文明中心和活动中心在这段时期要更北一些也合理，比如就是北纬37°左右，是商朝的都城耿（邢台市，北纬37.07度）或者是一些上古文明？真实情况尚不得而知。
以上都是从“王”字的中画到上下距离比值为1:2展开的假想，缺乏历史文献支持，算是一个自娱自乐、自圆其说的肆意畅想，但我中华文字自有其承载的厚重历史和文化底蕴，说不定随便一个简单的文字里面就有大道理、大讲究和文化传承。