《下学葊算书》之三角函数及三角恒等式
《下学葊算书》之三角函数及三角恒等式
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着之《下学葊算书二》，主要介绍该书之正切余切三角函数。本文亦涉及三角形之半角及相关三角恒等式。
关键词：股旁角 勾旁角 正切 余切 勾半旁角
笔者已有以下文题涉及“正弦公式”之应用：
1. 〈项名达《下学葊算书》“正弦公式”之应用〉
2. 〈项名达《下学葊算书》“正弦公式”应用之二〉
以上诸文皆谈及以“正弦公式”解勾股题，本文乃其延续，主要谈及三角之正切余切函数及反三角函数。
以下各题皆取材自清‧项名达着之《下学葊算书三种‧平三角和较术‧勾股形》。
清代已有三角函数之概念，亦有反三角函数概念，本文以现代数学符号表之。
若直角三角形ABC之弦 = c，勾 BC = a，股 AC = b，以下各题皆用此三数，又依惯例，股> 勾，即 ∠B > 45o。
以下为《下学葊算书》一角之正弦表示法：
1. ∠A 是为股旁角，股旁角正弦即 sin A﹝见上图﹞。
2. ∠B 是为勾旁角，勾旁角正弦即 sin B﹝见上图﹞。
3. 半直角四十五度正弦即sin 45o =
，此亦包括 45o = sin – 1
。
其他三角函数亦可作类似定义。
清代数学界流行所谓“比例四率”，即
=
，移项得：
四率 =
。此四率与现代数学配合，通常未知数安排为第四率。
本文所提及之四题虽未算深奥，但在作图解题方面，亦十分巧妙，特别在求勾半旁角或股半旁角，现代之中学生未必能解也。
以下各题之作图皆依《下学葊算书》之提示而为之。
﹝一﹞有股有勾弦较求两角。
题问已知一勾股形之股及其勾弦较，求其两锐角。
解：
先作一勾股形 ABC，作其内接圆，圆心为 O，联 OA、OB，又作 OE 垂直 BC﹝见下图﹞。
以直角三角形ABC 为基础，延长BC 至 D，使BD = AB，CD 是为勾弦较，即c – a = v。若 ∠ABD = 2β，∠BAD =∠BDA =
(180 – 2β) = 90 – β，所以 ∠CAD = β =∠OBD，∠OBD是为勾旁半角，为未知数。若求得 β，即可求得两锐角。
以下为有股有勾弦较图：
若CD 为勾弦较 = c – a = v，AC = 股 =b = u，此两数已知。又从勾股形ACD 可知：
tan β =
=
，β = tan – 1
。
∠ABC = 2β = 2tan – 1
。
∠BAC = 90o – 2tan – 1
。
本题之关键为作出以上图，作出以上图后则解题容易。以后各题皆如此。
《下学葊算书》曰：
法以股为一率，勾弦较为二率，半径为三率，求得四率即勾旁半角正切，倍之为勾旁角，以减九十度为股旁角。
用比例四率，即
=
，四率 =
。
一率 = 股 = u，二率 = 勾弦较 = v，三率 = 半径，四率为勾旁半角正切= tan β，∠ABC 是为勾旁角，勾旁半角为β，而∠BAC 是为股旁角。
四率 = tan β =
，此式多一三率“半径”，此值为 1 则合。此“半径”相信为配合四率而设，若基本勾股形为勾 3、股 4 及弦 5，则其内切圆半径为1。
验算：
以下为一正三角形之半图。
设有一勾股形如上图，若 A 角与 B 角为未知，已知勾弦较 = v = 2 – 1 = 1，
股 = AC = u =√3﹝以根号表示以减少误差﹞。求A 角与 B 角。
根据上式tan β =
=
，β = tan – 1
= 30o。
此处之勾旁半角应为 30o，正切即 tan 30o，已知 tan 30o =
。
比较以上两式可知β = 30 o。∠ABC = 2β = 60 o。
所以 ∠ABC 勾旁角 = 60 o。即可知 ∠BAC 股旁角 = 30 o。配合预知之答案。
﹝二﹞有股有勾弦和求两角。
题问已知一勾股形之股及其勾弦和，求两锐角。
解：
先作一勾股形 ABC，作其内接圆，圆心为 O，联 OA 及 OB，又作 OE 垂直 BC，延长 CB 至 F，使 BF = AB。∆ABF 是为等腰三角形。容易证明
若∠BFA = β，∠BAF = β，即∠ABC 之半，所以 ∠ABC = 2β，求 β 。
若求得 β，即可得两锐角。见以下之“有股有勾弦和”图。
今已知股= AC = u ，勾弦和 = FC = c + a = w。两数为已知。
∠BFA 即 ∠OBC = β，从下图可知：在 AFC 中，cot β =
。
已知勾弦和FC = FB + BC = c + a = w，又已知股 = AC = u。
在勾股形AFC 中，cot β =
=
，β = cot – 1
，是为勾旁半角余切。
∠CBA = 2β = 2 cot – 1
。
∠BAC = 90o – 2β = 90o –2 cot – 1
。
《下学葊算书》曰：
法以股为一率，勾弦和为二率，半径为三率，求得四率即勾旁半角余切。如前加减得两角。
用比例四率，即
=
，四率 =
。
一率 = 股 = u，二率 = 勾弦和 = w，三率 = 半径，四率为勾旁半角余切= cot β。
四率 = cot β =
=
。
β = cot – 1
。
与上题一样，此式多一三率“半径”，此值为 1 则合。
验算：
依旧用正三角形之半验算﹝见上题﹞：
设勾弦和为2 + 1 = 3，股为 √3，求勾股形之两锐角。
从图可知cot β =
=
= √3。
已知 cot 30o =
= √3。
比较以上两式所以β = 30o，即 ∠ABC = 60o。
又即可得 ∠BAC = 90o – 60o= 30o。
答案配合正三角形之半之数字。
﹝三﹞有两角有勾弦较，求勾、股、弦。
题问已知一勾股形之两角及其勾弦较，求勾、股、弦之长。
解：
以下为有角有勾弦较图﹝此图乃前两图之合并，注意何者为未知数﹞：
先作一勾股形 ABC，作其内接圆，圆心为 O，联 OA、OB。勾股形 ABC 之勾长为 a，股长为 b 及弦长为 c，皆为未知数。
以直角三角形ABC 为基础，延长BC 至 D，使BD = AB，CD 是为勾弦较，若 ∠ABC = 2β，∠BAD =∠BDA =
(180 – 2β) = 90 – β，所以 ∠CAD = β =∠OBC，∠OBC β 是为勾旁半角。又延长CB 至 F，使 BF = BA，容易证明 ∆ABF 是一等腰三角形，而∠F = ∠FAB = β，见上图。
若CD 为勾弦较 = c – a = v 为已知数， β为已知角，若已知 β 即已知两角。又从勾股形ACD 可知：
cot β =
=
，b = v cotβ。
CF 即c + a 是为勾弦和。
在 ∆FAC 中，tan β =
=
。
以 b 代入上式并移项得 c + a =
= vcot2 β。
《下学葊算书》曰：
法以半径为一率，勾旁半角余切为二率，勾弦较为三率，求得四率即股。又以勾旁半角正切为一率，余切为二率，勾弦较为三率，求得四率即勾弦和。乃与勾弦较相加折半为弦，相减折半为勾。
用比例四率，即
=
，四率 =
。
一率 = 半径，二率 = 勾旁半角余切 cot β，三率 = 勾弦较 = v，四率为股。
四率之股 =
，即股 = b = v cot β。“半径”之值为 1 则合。
又另一率 = 勾旁半角正切= tan β，二率 = 勾旁半角余切 cot β，
三率= 勾弦较 = v，四率为勾弦和。
四率之勾弦和 =
= v cot2 β。
因为勾弦较= v，勾弦和 = v cot2β，
所以 弦 =
( vcot2 β + v) =
v (cot2 β + 1) =
v (csc2 β) 。
勾 =
(v cot2β – v) =
v (cot2 β – 1) 。
股 = v cot β。
验算：
依旧用正三角形之半验算：
设勾弦较为2 – 1 = 1 = v，∠ABC = 60o ，勾旁半角 β = 30o。
已知cot 30o =
，所以 cot2 30o = 3。
勾 = a =
v (cot2 β – 1) =
v (cot2 30 – 1) =
× 1 × (3 – 1) = 1 。
弦 =
v (csc2 β) =
×1 ×
= 2。
股 = b = v cot β = 1× cot 30o =
= √3。
答案配合正三角形之半之数字。
﹝四﹞有两角有勾弦和，求勾、股、弦。
题问已知一勾股形之两角及其勾弦和，求勾、股、弦之长。
解：
CF 即c + a 是为勾弦和= m，为已知数；注意β 亦为已知数。勾为 a 为未知数。所用之图与上题相若，注意已知数 β 之位置。若已知 β 即已知两角。
从勾股形 AFC 可知 tan β =
=
，即可得 b = m tanβ。
又在勾股形 ACD 可知：
cot β =
=
，c – a =
，将 b = m tanβ 代入得勾弦较：
c – a=
。
《下学葊算书》曰：
法以半径为一率，勾旁半角正切为二率，勾弦和为三率，求得四率即股。又以勾旁半角余切为一率，正切为二率，勾弦和为三率，求得四率即勾弦较。如前加减得勾弦。
用比例四率，即
=
，四率 =
。
一率 = 半径，二率 = 勾旁半角正切tan β，三率 = 勾弦和 = m，四率为股。
四率之股 =
，即股 = b = m tan β。“半径”之值为 1 则合。
又另一率 = 勾旁半角余切= cot β，二率 = 勾旁半角正切 tan β，
三率= 勾弦和 = m，四率为勾弦较。
四率之勾弦较 c – a =
= mtan2 β。
因为勾弦和= m，勾弦较 = m tan2β，
所以 弦 =
(m+ m tan2 β) =
m(1 + tan2 β) =
m (sec2 β) 。
勾 =
(m –m tan2 β) =
m (1 – tan2 β) 。
股 = m tanβ。
验算：
依旧用正勾股形之半验算：
设勾弦和为 c + a = 2 + 1 = 3，∠B = 60o ，即勾旁半角 = 30o 。
已知股 = b = m tan β = m tan 30o = 3 ×
= √3。
弦 =
m (sec2 β) =
× 3 ×
=
× 3 ×
= 2。
勾 =
m (1 – tan2 β)
=
× 3 ×
=
× 3 ×
= 1。
《下学葊算书》提出一条非常重要之三角公式：
观此四题，知勾弦和较之比例，与勾旁半角余切正切等，而比其股者，即半径也。
文意指一勾股形 ABC，所对之边分别为a、b及 c，则
=
。
证明：
从前题可知勾弦和 c + a=
，勾弦较 = c – a = v，即可得：
=
，其中 β =
。其实
可化简为 cot2 β。
至于所谓“而比其股者，即半径也”，即以下之两式：
第三题四率之股 =
，半径 =
。
第四题四率之股 =
，半径 =
。
即 半径 =
=
。
若半径 = 1，则左股 = v cotβ，右股 = m tanβ。
以下为《下学葊算书》原文：