讲义 | 利息理论（下）

按：本文是讲解《经济解释》第二卷第二章后半部分的内容。略长，真爱请看完，不爱请忽略。

上周我们讲解了很多的概念，以及概念之间的关系，我做了一张图，用这张图来帮助大家理解和复习一下上一讲的主要内容。

第四节  收藏、消费、职业的选择

利息理论，也是时间的经济学，在这个范畴内，消费选择并不是甲、乙物品之间的选择，而是时间先后的选择。同样的东西，不同的时间，也可以看作是不同的物品。岁月变迁、物是人非，小时候玩的游戏长大再玩就不一样了。

早消费比晚消费要贵，人们更多的是「不耐」，苹果 iPhone7 出来都在抢着买，彻夜排队也要第一时间上手买到最新款的产品，然后第一时间拍个照片发朋友圈，等着点赞。这个「不耐」、「等不及」的利润空间是相当可观的。

关于复利，有个「72法则」的快速计算方法。假如年利率是8%，也就是8厘，那么72÷8=9，也就是9年就会翻一番。你有一万块钱，年利率8%，复利下来9年变两万，18年变四万。

关于复利的杀伤力这一部分列举的例子就不多讲了，重点讲一讲复利的计算方法。前方高能预警，小心了，会有计算的数学公式，这个是一个推导过程，因为书上没有仔细讲，我呢就把它掰开了给你看看，觉得有必要就看看，不想看、不想知道背后的推导也没关系，不重要，可以忽略这块推导的过程。

这个地方有个小细节，就是书中1776年的《国富论》售价1.8英镑，给出了四个年利率，注意是复利的年利率，分别是2%，4%，6%和8%，经过225年的复利之后，在今天这1.8英镑是多少钱的问题。

书中给出了4个计算值，但是你如果计算一下，你用常见的下面这个公式去计算，是无法得出书上所列的结果的：

用这个公式：FV=PV*(1+i)^N，无法得出书中列出的结果。

这个地方回想一下上周的内容，FV 是将来的期值，Future Value；PV 是现在的现值，Present Value。

书虽然看过几遍，但这个地方我自己也确实从未计算过，是原来我第一次讲课时有个同学提出的问题，然后还反复查资料才发现计算公式不是 FV=PV*(1+i)^N，而是另外一个：

FV=PV*e^(N*r）

这里简单说一下这个公式是怎么来的，这个公式是在金融学中更常用的一个公式，叫作连续复利（Continuous compounding）。

我们第一个公式 FV=PV*(1+i)^N，时间单位是什么？ 也就是 N 代表的是年。但是真实世界中有时候复利并不是以年为单位的，而有可能以每季度为单位进行复利计算，也有可能以每月，甚至每天来计算复利。

那么这个时候复利的计算公式，就需要根据实际情况改变一下，变成：

FV=PV*（1+i/m)^(m*N)

这里 m 代表的是一年内分了几期来计算复利，N 仍然代表年数。假如 m=12，那就是按照一年12个月，每月都来计算复利了，上一期的利息计入下一期的本金中。

而如何得出一个跟自然对数的底数 e 有关的计算公式呢，也就是连续复利，则是把期数 m 趋于无穷大的极限情况下计算出的，每一期之间的间隔很短，可以看作每时每刻都在计算复利。这样就有了下面这个公式的推导过程，就得出了连续复利的计算公式。

其中这个公式：

是关于自然对数的底数 e 的定义，e 在科学技术中用的非常多，一般不用10作为底数的对数。用 e 作为底数，许多公式都能够得到简化。

可以看出，连续复利是普通复利的极限，因为大多数模型都是连续时间下的随机微分方程所定义，所以在连续时间金融问题里面都用连续复利。但是离散时间的完全可以用离散的复利，只要和你的数据和模型相匹配就可以。

这个知识点，也挺有意思，但如果不感兴趣推导过程，可以直接无视，记住结论即可，说不定哪天会用到。

纯从消费的角度看，同一种东西消费时间不同，那也就变成了不同的东西，较早的拥有比较迟的更为可取。这两种不同时间的物品之间也可以画一条等优曲线，也是内凸的，而其弧度代表着消费者个人的边际时间替换意图。

两个时间，同一物品的市价之差，就是市场的利率。在均衡点上，边际时间替换意图与利率相等。

人与人之间的消费观念是不同的，有的人喜欢「今朝有酒今朝醉」，有的人则喜欢精打细算，还有的人喜欢跌宕起伏。在职业的选择上，费雪认为，人们会选择一生收入最高的职业，除去无法用金钱量度的收入之外，人们会选财富最高的。

不考虑非货币收入，比如声誉、头衔等等，假如一个漂亮女孩可以选择歌女、医生、文员这三个职业，这三个职业的特点很明显：歌女先甜后苦，医生先苦后甜，文员则是不苦不甜，平平淡淡。

到底改选哪条路？费雪的看法是，无论一个人的消费倾向如何，她的职业选择都不应该受到职业收入的变化所影响。因为有了借贷市场，可以先借后还，也可以先借出去投资然后到老有不错的收入。

费雪的结论是：只要选择收入折现后财富最高的职业，然后通过借贷市场的调整，无论你是喜欢大手大脚的花钱，还是喜欢精打细算、勤俭节约，那么你的平生的消费都是最高的。

漂亮女孩去当歌星，参加中国好声音，但希望年老时才增加消费，那么她可以在收入高的时候把钱借出去投资，老了有回报。她选择规规矩矩读书当医生，那么可以先借钱作为知识投资，到收入可观的时候再归还。通过借贷市场的调整，自己的钱想怎么花都行，只要选择收入折现后的财富是最高的，那么消费观念无论如何都是最高的消费水平。

从这一点来看，作为假设条件，争取最高财富比争取最高收入要好。因为除非是年金收入，否则其他收入时高时低，容易出错。

关于歌女和医生的选择问题，首先要回顾一下前面讲的财富定义，财富可以用收入来折现，也就是收入除以利率是财富，W=I/r。

不管非金钱收入，假如歌女和医生这一辈子的总收入是相同的，但是歌女的收入是前高后低，而医生则是前低后高。利率又是大于零的正数，越近利率越低，越远利率越高。所以，总收入相等，折现后的财富也是歌女胜出，人们会选择歌女作为职业首选。先赚先得。

而如果医生的总收入较高，有一个利率会使歌女和医生的财富相等。市场利率假如高于这个利率，当歌女的人多；而低于这个利率，则当医生的人多。

如果考虑投资成本，减去成本得到一个使歌女和医生财富相等的利率，也是费雪发明的，叫做「成本以上的回报率」（rate of return over cost），作为两个投资的分界。

贫困地区出来卖笑卖相的比较多，利率高，借不到钱，早一点利用自己的美貌换取高收入得到较高的财富，因此提高自己的消费水平，这是人们的理性选择。从这个角度来看，「笑贫不笑娼」是有道理的。

这个问题之前讲过，我们平常说的很多无价的东西，作为一个整体来看，好像是无价的，这个无价有两层意思，一层是人们普遍认为很高贵，第二层意思则是人们认为这个不能在市场上交易，或者说没有市场，无法交易。

但我们学习经济学强调的是具体问题具体分析，我们看上去无价的东西，在边际上是可以观察到它们与货币产品的替换的。比如你说亲情无价，但是过年七天假期有没有回去陪父母呢？是外出游玩还是办公室加班？其中的任何一天你可以有时间去陪父母享受亲情而没有，那么这都可以看作是你在边际上选择了加班或者旅游来替代「无价」的亲情，加班或旅游是有价格的。

情人节刚过，你说爱情无价，有没有抛下工作不加班直接选择共度良宵呢？这就是在边际上可以观察的到，但亲情、爱情可以替换，但很难在市场上成交，严格来说边际上是可以成交的，但作为整体概念的爱情、亲情通常无法成交。没有市场也不会有利率，没有利率也就无法计算财富，所以也就不能成为财富的一个量度。

学了经济学之后，我们不会轻易说什么东西无价，我们会说，凡事都是有成本的。

这个问题跟我们日常的环境保护密切相关，究竟是先污染再保护呢，还是文艺青年说的，停下经济发展，等一等「灵魂的脚步」？或者环保主义「绿教」说的要拯救地球？是拯救地球呢，还是用地球上的资源来拯救我们自己？

费雪的看法，急功近利如果能带来较高的财富，先拿下来再说。先挖到第一桶金，然后再投资带来长期较高的总收入，这就是经济的快速增长了。

美国建国之初也纠结于是走工业化道路，还是保护农田，最终汉密尔顿发表了著名的《关于制造业的报告》，第一次预言了美国经济的前途，敦促国会发展美国制造业，指出有了强大的制造业，国家才能真正独立，在全球中得到平等的地位和条件。最终力排众议，带领美国走上了工业强国的道路。

其他发达国家也都是这样走过来的，我们今天也正走在成为发达国家的路上，先污染再治理的路是不得不走，必不可少的路。（这段历史可以参看林达的近距离看美国之四《如彗星划过夜空》，文笔非常棒，推荐一看）

这个道理无论对一个国家还是一个普通人来说，都是通用的。听老一辈人聊天，他们有时候感叹，「我们是前半辈子用命换钱，后半辈子用钱换命」，听上去很残酷，但这已经是最好不过的方法了，这是他们所处的发展阶段、所在的社会阶层最好的生存策略。

你不这样，连生存都成问题，所以你看《塑料中国》那个纪录片、或者看环保、文艺小清新的文章，基本都是无病呻吟，操别人的心，别人想的是怎样生存下去，他们想的是怎么关爱别人、关爱地球。

所以学习经济学，对于了解历史，指导人生都是有帮助作用的。

第五节 收成的时间

关于什么时候砍树的问题，费雪的答案是：要得到最高的财富，砍树收成的时间是回报率与市场利率相等。利率较高，收成的时间较早。

后面还有各路高手给出的答案，张教授表示不服，给出了自己更详细的分析。这实际上是一道数学题或者几何题，我们不需要那么复杂，简单的把书中的几种情况列个表来看下更加清晰一些。

坦而言之，我没有想到更好的讲解方法，或者说没有理解透彻，这里暂时先放一放，有更合适的例子的时候再回过头来看这一节的分析。

但记住一点：资源稀缺的情况下，其他因素不变，利率越高收成时间越早越好。

第六节  分离定律

分离定律（Separation Theorem），是说在有市场、交易费用足够低的情况下，一个人的投资和消费可以分开来决策。这和前面所说的「投资是消费在时间上的权衡轻重」并不冲突。或者简单理解，就是在有借贷的情况下，生产决策和消费决策可以分别独立地进行，互不相关。

这是张教授的通俗解释，更书面一点的解释可以在他的老师赫舒拉发所著的《价格理论及其应用》一书中找到，但这本书有很多的数学推导，不建议初学者看。赫舒拉发关于分离定律的定义是，人们的生产最优位置可以完全独立于他的个人偏好。但是这个定律只适用于完美且无成本的借贷市场。

今天投资多了，明天的消费可以增加。但是如果有借贷市场的存在，又只有一个明确的利率，一个人可以借钱投资，可以借钱先消费，也可以贷款出去然后连本带息收回。

在有单一利率的借贷市场，消费的均衡点是利率与个人的「边际时间替换意图」相等，而投资的均衡是利率与回报率相等。这样，在整体的均衡上，边际替换就等于利率等于回报率。

于是，投资归投资，消费归消费，今天的投资和今天的消费可以完全没有关联。你可以倾尽所有投资于一个项目上，然后借钱花天酒地。这就是分离定律。

得出两个重要的推论：

其一，衡量投资的准则，争取最高的财富，如果有几个与利率相同的回报率选择，首选折现后财富最高的。

其二，假若借贷市场有交易费用，分离定律不容易成立。比如借钱利率若高于存款利率，投资者可能不愿意借钱消费，这样投资和消费的决策就无法分离了。

从个人的角度来看，选择什么职业（从而获得消费所需的收入）与选择什么消费模式——如有人喜欢多存钱以备未来，有人喜欢做月光族，有人喜欢不同时期的消费量都差不多，有人喜欢消费量时多时少——是没有关系的，只要选择的职业能给个人带来最高财富（所有收入的折现值之和最大）就行了。

从社会的角度来看，整个社会的生产与每个人对时间的偏好也是毫无关系的，只要尽可能地减少资源、技术与制度这些局限条件的约束，使得整个社会的生产能力或生产效率达到最大，从而达到社会财富最大化就行了。

而客观存在的市场利率是由后者决定的。

上一讲：利息理论（上）