《下学葊算书》之勾股三边恒等式说之二(10)
《下学葊算书》之勾股三边恒等式说之二(10)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着《下学葊算书一》之勾股第六术，主要涉及直角三角形之三边恒等式证明法及几何图之表示法。本文有四题，而此四题之解法只有些微差异。
关键词：长方积 长阔较 长阔和 弦较较
以下各题皆取材自清‧项名达《下学葊算书一‧勾股六术‧第六术》。本文主要涉及直角三角形三边之恒等式证明法及几何图之表示法。
笔者有文名为〈《下学葊算书》之勾股三边恒等式之一(9)〉，本文乃其延续。
下左图为一般之直角三角形图：
在以下各题中，x、y、z为直角三角形三边，股大于勾，如上图所示。
第﹝一﹞至﹝四﹞题见上文。
﹝五﹞股弦和弦较较相乘，与勾乘弦和和等积，因以股弦和为长阔较，何也？
试证明股弦和弦较较相乘 = 勾乘弦和和。
解：
股弦和= z + y 。以下为弦较较之定义：
弦 = z，第一较字指勾股之差，即股 – 勾 = y – x，第二较字指勾股差与弦之差。所以弦较较 = z–(y – x) = z – y+ x 。
已知弦和和= z + x + y 。以下为弦和和之定义：
弦 = z，第一和字指勾股和，即股 + 勾 = y + x。第二和字指勾股和与弦之和，所以弦和和 = z + (y + x) = z + y + x 。
股弦和弦较较相乘 = (z+ y)(z – y + x)
=x(z + y) + (z2 – y2)
= x(z + y) + x2
=x(z + y + x)
= 勾乘弦和和。
若视上式为一长方形，则以x 为阔，以 (z + y + x) 为长，故长阔较为
(z + y + x) – x = z + y，即股弦和，见以上之算式。
若已知：
股弦和z + y = k-------------------------------------------------------- (1)
弦较较x – y + z = h -----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z + y)(x+ z – y) = x(z + y) + z2 – y2 = kh------------- (3)
从 (3) 可得xk + x2 = kh
x2 + xk – kh = 0﹝以勾股定理化简及移项﹞
依公式解得：
x =
﹝取正号，古时以“带纵较数开方法”﹞。
从 (2) 可得 z – y = h – x
z – y = h –
=
-------------(4)
已知z + y = k-------------------------------------------------------- (1)
从以上两式可知z =
[k+
]
=
。
y =
[k –
]
=
。
本题之恒等式可以以下之几何图表示：
先作一直线 AD，在其上作B、C、M 三点，使 AB = x，BC = y， CD = z，CM = y，所以 MD = z – y，又作 DH 垂直 DA，而DH = AE = x。作 ADHE 长方形，在 HE上作 F、G、N 三点，使 EF = x，FG = GN = y。延长 DH 至L， MN 至Q， CG 至 P，使 HL = NQ = GP = FK = z – y，显然，AEFB 是一正方形，亦即为勾方﹝见下图﹞。
中文字乃原文之标示。
从上图可知：
BK = z – y + x，KL = z + y。
长方形 BKLD = BK × KL = (z – y + x)(z + y)
=x(z + y) + (z – y)(z + y)
= BFHD + FKLH。
因为AEFB = x2 及 FKLH = (z – y)(z + y) = z2 – y2 = x2，即 AEFB = FKLH。
上式左右方加 BFHD，得：
BFHD + FKLH = BFHD + AEFB，
即 BKLD = AEHD。
因为 BKLD = BK × KL = (z – y + x)(z + y)，
及AEHD = AE × AD = x(z + y + x)，
以上两式左方相等，则右方亦相等，所以 (z + y)(z – y + x) = x(z + y + x) 。
若已知 k 与h，要作以上之图，可先作出长方形 BKLD，算出 x，取 AB为 x，可作出长方形 ABFE，在BK 中取 BF = x，得 KF = z – y，在 AD 中取 M 使 DM = z – y，平分MB 得 C，取 BC 为 y，再取 CD 为 z。
﹝六﹞勾弦和弦较和相乘，与股乘弦和和等积，因以勾弦和为长阔较，何也？
试证明勾弦和弦较和相乘= 股乘弦和和。
解：
已知弦和和= z + x + y 。勾弦和 = z + x 。
以下为弦较和之定义：
弦 = z，较指勾股较即股 – 勾 = y – x。第三之和字指弦与勾股较之和，所以弦较和 = z+ (y – x) = z + y– x 。
勾弦和弦较和相乘= (z + x)(z – x + y)
=y(z + x) + (z2 – x2 )
= y(z + x) + y2
=y(z + x + y)
= 股乘弦和和。
若视上式为一长方形，则以y 为阔，以 (z + x + y) 为长，故长阔较为
(z + x + y) – y = z + x，即勾弦和，见以上之算式。
已知勾弦和 z + x = d-------------------------------------------------- (1)
弦较和 y – x + z = e ----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z + x)(z – x + y) = y(z + x) + z2 – x2 = de------------ (3)
从 (3) 可得yd + z2 – x2= de
yd + y2 = de
y2 + yd – de = 0
y =
﹝以公式解，取正号﹞。
因为y – x + z = e
所以z – x= e – y = e –
又因为z + x = d
从以上两式可知z =
[ d+ e –
]
=
。
x =
[ d – e +
]
=
。
本题之恒等式可以以下之几何图表示：
先作一直线 AD，在其上作B、C、M 三点，使 AB = y，BC = x， CD = z，CM = x，所以 MD = z – x，又作 DH 垂直 DA，而DH = AE = y。作 ADHE 长方形，在 HE上作 F、G、N 三点，使 EF = y，FG = GN = x。延长 DH 至L， MN 至Q， CG 至 P，BF 至 K，使 HL = NQ = GP = FK = z – x，显然，AEFB 是一正方形，亦即为股方 y2。
AD = z + y + x，即弦和和
从上图可知：
长方形 BKLD = BK × KL = (z – x + y)(z + x)
=y(z + x) + (z – x)(z + x)
= BFHD + FKLH。
因为AEFB = y2 及 FKLH = (z – x)(z + x) = z2 – x2 = y2，即 AEFB = FKLH。
上式左右方加 BFHD，得：
BFHD + FKLH = BFHD + AEFB
所以 BKLD = AEHD。
BKLD = BK × KL =(z – x + y)(z + x) ，
AEHD = AE × AD = y(z + y + x)
以上两式左方相等，则右方亦相等，所以 (z + x)(z – x + y) = y(z + y + x) 。
若已知 d 即 z + x 与 e 即y – x + z，要作以上之图，可先作出长方形 BKLD，算出 y 后，延长DB至 A，取 BA为 y，又取EA垂直 AD，取 EA = HD = y，可作出长方形 ADHE，在DA 中取 DM = HL =z – x，得 BM = 2x， 平分MB 得 C，取 BC 为 x，再取 CD 为 z。
﹝七﹞股弦和弦和较相乘，与勾乘弦较和等积，因以股弦和为长阔和，何也？
试证股弦和弦和较相乘= 勾乘弦较和。
解：
已知股弦和= z + y 。
以下为弦较和与弦和较之定义：
弦 = z，较指勾股差，即股 – 勾 = y – x。和指前两数之和，所以弦较和 = z + (y – x) = z + y – x 。
弦 = z，和指勾股和，即股 + 勾 = y + x。较指前两数之差，所以弦和较 = (y +x) – z = y + x – z 。
股弦和弦和较相乘 = (z + y)(y + x – z)
=(z + y)[x – (z – y)]
=x(z + y)– (z2 – y2)
= x(z + y) –x2
=x(z+ y – x)
= 勾乘弦较和。
若视上式为一长方形，则以x 为长，以 (z+ y – x) 为阔，故长阔和为
x + (z + y – x) = z + y，即股弦和，见以上之算式。
已知股弦和z + y = f------------------------------------------------- (1)
弦和较y + x – z = g---------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z + y)(– z + y + x) = x(z + y) – (z2– y2) = fg -------- (3)
从 (3) 可得 xf – (z2 – y2) = fg
– x2+ xf – fg = 0﹝以勾股定理化简及变号﹞
x2 – xf + fg= 0
依公式解得：
x =
﹝取负号，古时以“带纵较数开方法”﹞。
从 (2) 可得– z + y = g – x
– z + y= g –
z – y =
– g -------------------------------------(4)
z + y = f ----------------------------------------------------------- (1)
从以上 (4) (1) 两式可知z =
[
– g + f]
=
。
y =
[f –
+ g]
=
。
本题之恒等式可以以下之几何图表示：
先作一直线 AD，在其上作B、C、M 三点，使 AB = x，AC = y，于是BC = y – x，CD = z，CM = y，所以 MD = z – y。又作 DH = x 垂直 DA，而HK = MD = z – y。作 ADHE 长方形，在 HE上作G、F、N 三点，使 EG = x，FG = y – x，FN = y。显然，AEGB 是一正方形，亦即为勾方。
从下图可知BD = BC + CD = y – x + z 是为弦较和。
又 DK = AP = AE – EP = x – (z – y) = x – z + y 是为弦和较。
从上图可知：
长方形 APKD = AP × PK = (x + y – z)(z + y)
=(z + y)[x – (z – y)]
=x(z + y)– (z – y)(z + y)
= AEHD – PEHK。
因为AEGB = x2 及 PEHK = (z – y)(z + y) = z2 – y2 = x2，即 AEGB = PEHK。
下式亦必成立：
AEHD – AEGB = AEHD – PEHK
得 BGHD = APKD。
因为BGHD = BG × GH = x(z + y – x)及APKD = AP × PK = (z + y)(y+ x – z)
所以 x(z + y – x) = (z + y)(y + x – z)。
若已知 z – y = e 与 y – x + z= f，要作以上之图，可先作出长方形 BDHF，算出 x，延长DB 至 A，取 BA为 x，可作出方形 ABGE，在AD 中取 DM = KH = e，作 KP ，又平分MA 得 C，取 MC = CA为 y，再取 CD 为 z 即得。
﹝八﹞勾弦和弦和较相乘，与股乘弦较较等积，因以勾弦和为长阔和，何也？
试证明勾弦和弦和较相乘 = 股乘弦较较。
解：
已知勾弦和= z + x 。
弦和较 = (y + x) – z = y +x – z。弦较较 = z – (y – x) = z – y+ x。
勾弦和弦和较相乘 = (z + x)(y + x – z)
=y(z + x)– (z2 –x2 )
= y(z+ x) – y2
=y(x + z – y)
= 股乘弦较较。
若视上式为一长方形，则以y 为长，以 (x + z – y) 为阔，故长阔和为
y +(x + z – y) = z + x，即勾弦和，见以上之算式。
已知勾弦和 z + x = d------------------------------------------------ (1)
弦和较y + x – z = e---------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z + x)(– z + x + y) = y(z + x) – (z2– x2) = de ------- (3)
从 (3) 可得 yd – (z2 – x2) = de
– y2+ yd – de = 0﹝以勾股定理化简及移项﹞
y2 – yd + de = 0
依公式解得：
y =
﹝取正号﹞。
从 (2) 可得 z – x = y – e
z – x =
– e-------------------------------------(4)
z + x = d ------------------------------------------------------- (1)
从以上两式可知z =
[d+
– e]
=
。
x =
[d –
+ e]
=
。
以下为图解法：
先作一直线 AD，在其上作C、B、M 三点，使 AC = x，AB = y，于是
BC = y – x， CD = z，CM = x，所以 MD = z – x。又作 DH 垂直 DA，而
DH = MD = z – x。作 ADHE 长方形，在 HE上作 G、F、N 三点，使 EG = x，EF = y，于是FG = y – x，GN = x。延长 AE 至K， BF 至 L，使 AK = BL = KL = y，显然，AKLB 是一正方形，亦即为股方。
从上图可知BD = AD – AB = x + z – y 是为弦较较。
EK = AK – AE = y – (z – x) = x – z + y 是为弦和较。
从上图可知：
长方形 BFHD = BD × DH = (z – x)(z + x – y)
=– y(z – x) + (z – x)(z+ x)
=–AEFB + AEHD
因为AEFB = y(z – x)及 (z –x)(z + x) = AEHD，
但(z – x)(z + x) = z2 – x2 = y2= AKLB。
即 AEHD = AKLB，左右减去 AEFB：
AEHD – AEFB = AKLB – AEFB
BFHD = EKLF。
因为 BFHD = BF × FH = (z – x)(z + x – y)
及 EKLF = EK × LK = y(y + x – z)，
所以右方亦相等即 (z – x)(z + x – y) = y(y + x – z) 。
若已知 z – x = w 与z + x– y = v，要作以上之图，可先作出长方形 BFHD，算出 y 后，延长 DB 至 A，延长 HF 至 E，取 AB = EF为 y，可作出正方形 ABLK﹝AK = y﹞，在 AD 中取 DM = w，平分MA 得 C，取 MC = CA 为 x，再取 CD 为 z。
以下为《下学葊算书》原文：