物理还未发现，100多年前黎曼已先知先觉
数学是科学之母。人类科技的进步离不开数学的发展，数学已经被广泛应用于各种领域。在数学的发展过程中，顶级数学家功不可没。本期科学Sciences介绍19世纪最伟大的数学家之一：黎曼·黎曼，他被认为是先知的数学全才。
人类的科学之所以能够达到如此高的水平，其原因就在于数学家提供了极其强大的分析工具。
数学的前进速度，远远超过了人类观察自然和认识自然的速度。
我们知道，组成万物的最基本单位是原子。原子一共有100多种，却组成了成百万、上千万种不同的化合物，也是组成我们肉体的成分。
我们的肉体虽然是由原子组成的，但是我们触摸到的并不是原子核。
我们的皮肤，我们的头发，以及我们周围看到的一切，都是一大团电子，这些电子围绕着原子核运行。
电子在原子核外高速运行，之所以不打架，就是因为分布在不同的轨道上。
与围绕太阳运行的行星不同，电子不能与原子核保持任意距离，只能存在于被称为允许轨道的特定位置。
按照物理学的观点：轨道的大小和能量都是量子化的，电子从一个允许的轨道或能级，移动到另一轨道，中间过程是无法描述的。
电子从它所处的轨道上突然消失，又重新出现在新位置上，而不会出现在两者之间。
这个过程被称为量子跃迁。(但是后来发现，这个量子跃迁的中间过程有可能会被描述，在本文后面有。)
因为不同的轨道有不同的能量，每当量子跃迁发生时，电子在跃迁后所拥有的能量就会不同。
每个轨道上的电子都是由一个称为波函数的数学表达式来表示的，它类似于一根沿着电子轨道行进的振动吉他弦。
如果一个电子从一个较高的能级跃迁到一个较低的能级，那么损失的能量将以光子的形式发射出去。
同样地，如果给原子加上能量，电子就可以利用这种能量从较低的轨道跃迁到较高的轨道。这种能量可以通过多种方式提供。一种常见的方法是原子吸收频率合适的光子。
每种元素都有一组独特的能级，因此它吸收和发射光的频率就像一种指纹——光谱。只要分析光谱，就可以识别特定的元素。
电子所处的轨道是离散的和不连续的，就像一组一组的阶梯。
根据物理学家的研究，电子在原子核外轨道能级的分布不是随机的，它们有一定的规律。
这个分布规律决定了万物的性质，所以非常重要。
上世纪，科学家弗里曼.戴森(就是那个提出戴森球的科学家)发现素数在黎曼函数非平凡零点上的分布规律，和原子核外轨道能级的分布规律是一致的。
这个发现有双重意义：第1层意义，宇宙具有绝对精确的数学构架；第2层意义，原子的轨道能级之间很可能仍然具有某种结构(但是量子力学认为这中间是空白)。
所以，电子的能级迁跃，肯定是经历过某种暂时不为人知的过程。进一步推理，可以认为核外电子是运行在某一个更为复杂的空间中。
再进一步，量子的随机分布，很可能中间仍然有某种精细的数学过程。
150年前，黎曼给出的数学构架很可能是物理研究的新突破口。
希尔伯特和另外一个数学家波利亚，曾经提出过另一个猜想，认为黎曼函数非平凡零点上的某些数的分布规律对应于真实世界中某一个物理体系。
所以黎曼猜想也被认为是最重要的数学猜想。
也就是说，在物理学家还没有发现这些规律的时候，数学家已经从纯粹的逻辑上找到了万物运行的可能方式。
很多人如果对高等数学和复变函数没有一点儿概念的话，说起黎曼猜想，估计只是认识这几个字而已。
那么，这个黎曼猜想到底说了些什么呢？
证明过程肯定很复杂的，我们就先不管它了，至于黎曼猜想的内容原来是这样的。
在自然数序列中，质数(素数)的概念，是小学生都能够理解的，数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。4，6，8，9等等都不是质数。
由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。
质数的特性，让数学界历来都为它们迷恋不已。但是质数是没有规律可循的，最早用数学表达式来表达质数的普遍规律，还是瑞士的天才数学家欧拉在1737年发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。
沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯(Gauss)和另一位数学大师勒让德(Legendre)深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。
虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。
其时，年仅33岁的黎曼(Riemann)当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。
1859年黎曼关于这个猜想的手稿
没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。
就是数学界在一百多年前，在研究质数的过程中，黎曼定义出来的黎曼Zeta函数，就是黎曼猜想的主要内容。
现在关键的问题，是当时黎曼认为很显然的定理，没有证明，出现了类似费马猜想的乌龙，让整个数学界前赴后继，却不能证明，但是他们延伸出来的应用，已经遍布整个科学体系的方方面面了。
黎曼在文章里定义了一个函数，它被后世称为黎曼Zeta函数，Zeta函数是关于s的函数，其具体的定义就是自然数n的负s次方，对n从1到无穷求和。因此，黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而，遗憾的是，当且仅当复数s的实部大于1时，这个无穷级数的求和才能收敛(收敛在这里指级数的加和总数小于无穷)。
黎曼Zeta函数
黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式：
为了研究Zeta函数的性质，黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓，将s存在的空间拓展为复数平面，其表达式：
研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点，并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。
黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。
第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。
第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。从表达式：
不难看出，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n (n 为正整数)是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。
黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上，也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。
在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line(临界线)。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
第三个命题，黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。
黎曼函数还可以如下的一些表达方式：
有人曾经问希尔伯特，如果500年后能重回人间，他最希望了解的事情是什么？希尔伯特回答说：我想知道，黎曼猜想解决了没有。
美国数学家蒙哥马利(Montgomery)曾经也表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。黎曼猜想，俨然就是真理的宇宙里，数学家心目中那颗最璀璨的明星。
有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。
在科幻电影《黑客帝国》里，虚拟的世界也分成了好几个层，其中一个是表象层，另一个是逻辑控制层，也就是所谓的机器层。
这让我们联想起，我们所处在的真实物理世界之外，是否还有一个纯粹的逻辑世界，在这个逻辑世界里面定义了所有万物运行的法则。
与其说是顶级数学家的恐怖，不如说是数学的恐怖。
无论真实的宇宙有多么庞大，都会被容纳在数学的框架下。
除了黎曼和希尔伯特之外，还有一个被称为穿越者的数学家，有人认为他是高维度生物向人类传授知识的传话筒。这个数学家就是印度数学家拉马努金。
拉马努金出生于印度埃罗德，家境十分贫寒。在学校里，拉马努金表现的也不显眼，因为注意力不集中，考试总是不及格，按今天的标准，妥妥的“学渣”一个。好不容易考上大学，结果因为严重偏科，被学校开除。一年后，帕凯亚帕学院将他录取，结果连续2次挂了5门文科，再次被学校开除，连学位都没拿到手。日子过得也是相当拮据，甚至到了吃不起饭的地步。
然而在数学方面，他却极具天赋。11岁，拉马努金就掌握了部分大学数学的知识，13岁自学高等三角学。老师对这个“另类”不理解，同学也对他敬而远之。而他只梦想着有一天不用为生活奔波，让自己全身心的投入到数学中去。不过，毕业之后，擅长数学的拉马努金，只能干抄写员的工作。没有人相信，这个没有学位，没有接受数学教育的人，能在数学领域干出名堂。但是，拉马努金很快就证明了自己。
拉马努金笔记
1911年，24岁的拉马努金发表了自己的第一篇论文，从此进入印度数学界。由于他的研究成果太高深，当时的印度没人能看懂，朋友艾亚尔建议他：“何不把研究成果寄到英国剑桥，让那里的数学家看看呢？”
拉马努金公式：别说让我证明，我连看完的勇气都没有！
1913年1月16日，拉马努金终于鼓起勇气，给剑桥的贝克、霍布斯、哈代三位数学家，分别寄出了自己的研究出的一堆公式和命题。由于拉马努金的数学都是自学，他研究出来的公式，没有证明过程，甚至可以说，他连“证明”是什么都不知道，更别提严谨的学术了。因此，他寄出去的研究成果，并没有引起贝克与霍布斯的重视。
数学家哈代
哈代也是一位著名的数学家，看了拉马努金的公式，由于没有证明过程，也是一脸懵逼。不过，哈代没有直接丢掉，而是和另一位数学家进行了讨论，讨论的结果就是：“拉马努金是个天才！”
拉马努金在哈代的帮助下，进入剑桥大学，成为哈代的合作伙伴。在5年的时间里，2人一共发表28篇重量级论文，在堆垒数论特别是整数分拆方面做出了重要贡献。当然，在椭圆函数、超几何函数、发散级数等领域，他同样取得了不俗的成绩，对现代数学发展的贡献不可估量。
拉马努金(中间者)获得剑桥学士学位
然而，他取得的这些成就，并非是受益于教育，而是来自于“神秘的直觉”。简单来说，就是他睡一觉醒来，就能写出来很多公式，用他自己的话来说：“是娜玛卡尔女神给的启示。”
凭借这一超能力，他一共独立发现3900个公式和命题，当然，这些梦里得到的公式，全都没有证明过程。经过后世数学家的不断努力，很多公式都得到了证明是对的。没被证明的公式，并不是错误的，而是目前无法证明。1978年，比利时的一位数学家证明了其中一道公式，就因此获得菲尔兹奖，足以证明拉马努金留下的公式难度之高。
有人说“拉马努金其实是个穿越者”，我想说，这么多复杂的公式，就算让我穿越，我都记不住。天才的世界，真是我等凡人不可企及的。遗憾的是，这位数学界的天才只活了32岁。1920年4月26日，拉马努金因肺结核病逝，留下一大堆未证明的公式，成为当今世界数学界最宝贵的遗产之一。
拉马努金留下的数学手稿里有3000多个公式，这些公式看起来都是初等数学公式，但却极为重要。目前整理出来的大概只有1/10，有一些公式可以描述黑洞的存在。
拉马努金所擅长的领域，其实都是他与生俱来的天才部分，和他在英国学到的知识没有关系。拉马努金曾经对哈代说，他的这些数学公式都是在梦中家族女神托梦给他的。
如果我们相信拉马努金说的话，那么确实存在一个仅有数学法则构成的宇宙。
那些最顶级的数学家，像黎曼、希尔伯特和拉马努金等人，能够在思维中观察到这个宇宙，这也许就是顶级数学家的恐怖之处。