三、超纲知识的理解和把握命制试题“难”的度
反函数作为一个极其重要的概念,新教材突出函数概念、淡化了映射,因为没有一一映射作为铺垫,反函数这个概念没法深入地讲解。考纲的制定要参考课程标准,但全国卷两次都对反函数提出了很高的要求,超越了考试大纲,明确提出特优生应该掌握。但与反函数的相关知识很多,“度”的把握是关键,对于优秀的学生,紧扣考纲要求,结合高考题目,理解反函数的概念、在实际问题情景中能够认知反函数、会求反函数、原函数和反函数图像关于 y = x 对称,这些都是应该掌握的,当然作为数学爱好者来说,还可以掌握反三角函数等,不受制任何限制,理解知识的本质,广泛地学习和思考。根据学生的情况,可以设置如下三个层次的题目:
例 7 的点评:借助反函数这个重要概念,把化为反函数的交点问题转化为函数与对称轴的交点问题,即可从形的角度,把参数的变化化为几何中的运动,也可以把从代数的角度,对方程进行变形,分参。
四、注意超纲知识和必备知识的相互替代性及解题层面的优越性
新课标删除了夹角公式,原因是可以利用向量来处理夹角。但就解题而言,有时候却有一点差异,对于特优生来说,这些都应该掌握,还应该掌握夹角公式和向量之间的联系。
椭圆上到长轴两个顶点张角最大为的点位于椭圆短轴的端点,用同样的方式容易说明双曲线上的点到实轴顶点连线张角的变化规律。那椭圆上的点到两个焦点张角最大在什么位置呢?可以利用余弦定理,夹角公式,但用向量法是最优化的。
这其实是很古老的题目,由此看到最新的高考题目常常是经典再现。
五、超纲知识和数学思想、能力的互补
考纲明确指出:了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数,理科要求一般不超过三次,文科明确说不超过三次).因为超过三次,会涉及三次不等式的解法,高考是不做要求的。
点评:法一的解法,很自然,这是超过考试大纲的,但如果能够理解均值不等式求最值“凑定”的思想,也可以突破。既鼓励优秀学生不拘泥于考纲,也要求学生掌握知识的核心思想方法,这是高考的不变的命题思路。这在文科复合函数的考查体现得更明显,复合函数的导数,考试说明没有提及过,文科是不要求掌握的,但高考年年坚持超纲。
