类周期性函数问题
类周期性函数问题
Ø方法导读
在研究函数性质的过程中,我们常常会遇到类周期性函数问题,如果遇到与类周期性函数相关的不等式恒成立的参数问题,那么我们应该如何处理这类问题呢?下面是我对于解决这一类问题的一些粗浅的理解,解决类周期性函数问题,可以根据函数值的变化情况,作出函数的图象,利用数形结合、函数与方程的思想,找到临界值,那么针对此类有关不等式恒成立的参数问题即可迎刃而解.
Ø高考真题
【2019年全国Ⅱ卷12题】设函数
的定义域为
,满足
,且当
时,
.若对任意
,都有
,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
Ø解题策略
【过程分析】在解决有关函数性质问题的题型时,自然而然会想到是否可以利用函数图像求解,对任意
,都有
,那么是否可以先求出
的解集呢?求出
对应的
,根据函数与方程的思想,利用数形结合,最终确定
的取值范围.所以本题的关键所在就是求出方程
的解,那么如何求出方程的解,已知条件所给出的信息仅仅是分段函数一部分所在区间的解析式,当
时,
,根据所给解析式我们发现此时函数的值域为
,函数值
并不在这个范围之内,无形之中该题的难度蹭蹭的上升了一大节.函数值
在哪一段函数上取得,对应的
值是多少,在此求对应的
受阻,那么我们又该如何处理此类问题呢?
【深入探究】对本题中方程
的求解,我们可以利用函数的类周期性,求出分段函数
的部分解析式,且不必急于求解方程
的根,可以先求出每一段上函数所对应的值域,直到找到函数值
所在的区间,得到函数值
对应的函数解析式,进而求解方程
的根,再结合函数解析式作出函数图像,利用数形结合思想,分析找出不等式成立时的临界点,故不等式恒成立的求参问题进而得解.
Ø解题过程
【解析】∵
,∴
,
∵
时,
,
∴
时,
,
,
∴
时,
,
,
当
时,由
,解得
或
,
若对任意
,都有
,则
.
故选:B.
Ø解题分析
上述解法中我们注意到方程
无法直接求根,而是一步步求出每段函数的解析式,并求出函数在该段上所对应的值域,这样处理的好处在于通过对每段函数对应值域的求解,逐步确定
所在的区间,得到函数值
所对应的函数解析式,进而解得方程
的根,将含参的不等式恒成立问题转化为确定的方程求解问题,利用数形结合找到不等式成立的临界点,从而使问题获解.
Ø拓展推广
第一步:由函数的类周期性,判断函数值的变化情况(值域或最值);
第二步:作出函数
的图象;
第三步:确定关键值所在的区间,求出临界点即可得出结果.
我们可将其称为解决类周期性函数问题的三步曲.不等式对应方程的解虽然隐形,但只要求出每段分段函数的值域,确定关键值所在的区间,解方程求出临界点,数形结合即可求出结果.
变式训练1
设函数
的定义域为
,满足
,且当
时,
.若对任意的
,都有
,则
的取值范围是__________.
变式训练2
设函数
的定义域为
,满足
,且当
时,
.若对任意
,都有
,则
的取值范围是__________.
变式训练3
设函数
的定义域为
,满足
,且当
时,
.若对任意
,都有
,则
的取值范围是( )
A
B
C
D
变式训练4
设函数
的定义域为
,满足
,且当
时,
.若对任意
,都有
,则
的取值范围是
A
B
C
D
变式训练5
设函数
的定义域为
,满足
,且当
时,
.若对任意
,都有
,则
的取值范围是
A
B
C
D
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答案
变式训练1
∵
,∴
,
∵
时,
,
∴
时,
,
;
∴
时,
,
;
∴
时,
,
;
当
时,由
,解得
或
,
若对任意
,都有
,则
,
故答案为
.
变式训练2
∵
,∴
,
∵
时,
,
∴
时,
,
,
当
时,由
解得
或
,
若对任意
,都有
,则
.
变式训练3
D
当
时,
的最小值是
;由
知,当
时,
,其最小值是
;当
时,
,其最小值是
;要使
,
则
,解得:
或
,然后数形结合可知
时,都有
恒成立.
变式训练4
D
作出当
时,
的图象,
由
,可得将
在
的图象向左平移
个,
个,
个单位,
同时点的纵坐标伸长到原来的
倍,
倍,
倍,
将
在
的图象每向右平移
个,
个,
个单位,
同时点的纵坐标缩短到原来的
倍,
倍,
倍,
作出直线
,如图所示:
对任意
,都有
,
可得只要找直线
与函数
在区间
之间的右边的交点,
由
,解得
(
舍去),
则
.
变式训练5
B
当
时,函数
在
上递增,在
上递减,
所以
,
由
,可得当图象向右平移
个单位时,
最大值变为原来的
倍,最大值不断增大,
由
,可得当图象向左平移
个单位时,
最大值变为原来的
倍,最大值不断变小,
当
时,
,
当
时,
,
当
时,
,
设
时,
,
,
即
,
,
由
,解得
或
,
根据题意,当
时,
恒成立.