初中数学：勾股定理-高难度压轴题

本公众号所推送解题经验为原创内容，均为个人思路方法，同行请勿抄袭！

偶然翻到的这道题，看了一下，对同学们来说还是挺有难度的。关键是思维的开放性，会有很多同学脑洞打不开。

这道题，咋一看，是不是感觉缺条件呢，如果∠BPC=90°不就啥事没有了吗？但是题中就是没有给这个条件，怎么办呢，没有直角三角形如何去求解三角形的边长呢？

同学们可以先看看，自己分析分析，然后再往下看。

不要急，既然要求BC，那么肯定会需要证明∠BPC=90°的，不然一没有中点，二没有全等，如何求线段长度呢？所以问题就是如何能证明出来。

既然这是个等边三角形，那么肯定有60°存在，而且三边相等，同时出现这么多的线段长度，估计是要用全等吧？根据BC=AB，而PB和PA已知，那么是不是可以在BC处也画个PB和PA呢？为什么要这么做，在后面会给大家提到。

老师就不用虚线作辅助线了，我们作得BD=PB，CD=PA，然后连接PD，这样△BDC和△BPA是不是就全等了呢？全等后就可以得到∠DBC=∠ABP，所以∠DBP=60°，所以△BDP为等边三角形，所以PD=PB。

那么在△PDC中，三边长都已知，就可以轻松证明△PDC是直角三角形，而PC=2DC，所以∠DPC为30°，因此∠BPC=90°了，那么BC就能求出来了。

但是，重点来了，如何能够想到去构造△BDC呢？

我们根据PA、PB、PC的长度很容易能够想到是直角三角形的三条边，而且有一个角是30°，那么我们就可以将PC当作斜边，去构造另外两个直角边，这个时候还要善于发现如何利用等边三角形的60°角，我们可以将PB绕点B逆时针旋转60°到DB，自然而然就构造了一个等边△BDP，所以PD=PB，然后就很容易发现∠DBC=∠PBA，而DB=PB，CB=AB，所以两个三角形全等，随机可以得到CD=PA，然后就可以证明△PCD是直角三角形了。

后面的思路方法上面已经提到了，所以就顺理成章了。

整体的书写解答过程还是比较简单的，但是难点就是这个思路对于同学们来说估计不容易想到，尤其是构造一个三角形这种方法估计有些同学都没有用过甚至是见过，既然今天学会了这道题，以后就要能够举一反三，掌握这种构造图形的方法和思虑。