动点类型经典压轴题之一

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（8,0），点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O-C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t＞0)，△MPQ的面积为S。

1）点C的坐标为________，直线l的解析式为__________．

2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．

4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值。

（1）点C的坐标和直线l的解析式算是送分部分，不再多解释了；

（2）点Q与M相遇前，首先确定t的取值范围，

然后根据，点M和点Q分别到达C点和B点时的时间t值，

分阶段求取函数关系式，

稍微难一点的是△PMN的底和高如何确定，

既然PM是⊥x轴的，那么以PM为底无疑是比较方便的，

那么高就是点Q到PM的距离，

① 当Q到达B点之前，AQ的长度可知为2t，

那么从Q向x轴做垂线即可求出点Q的坐标，

而直线PM的位置也可以根据时间t确定，

所以就比较容易确定点Q到PM的距离，

那么面积S也就容易表示出来，要记得标注t的范围；

② 当点Q到达B点，点M到达C点之前，就是第二个阶段了，

此时点Q到PM的距离更容易表示出来，

所以同样的方法搞定即可；

③ 点M、Q都在BC上的时候，这个阶段以MQ为底无疑最轻松，

那么高就是固定的：BC与x轴的距离；

那么面积S相对更容易搞定；

（3）第三问，三个阶段，肯定对应三个阶段中都会存在一个最大S值，

那么找到那个最大的即可；

或者我们根据点M和点Q的水平运动速度，

明显点Q比M的水平速度快，

所以以PM为底的时候，点Q到达B之前，三角形的高无疑是在不断增大的，

那么首先可以确定最大面积至少是点Q到达点B开始存在的，

那么同样S的最大值肯定是存在于点M没有过C点的阶段，

所以计算范围就缩小了，

后面的计算都是同样的道理，找出最大的S即可；

（4）最后一问，可能有些同学看到等腰三角形就头疼，毕竟情况讨论是最扯淡的，

那么我们需要注意这里PM是⊥BC的，

所以∠QMN是直角，

如果等腰的话，也就只有一种情况，

也就是等腰直角存在，

那么就容易得多了，

只需要表示出MN和MQ的长度即可，

MN的长度利用三角函数搞定即可（即直线l的斜率）

MQ的长度利用运动路程即可，

但是这里需要注意还会存在一个情况讨论，

也就是点M和Q哪一个在左边，哪一个在右边，

所以表示它们之间的距离时最好带上绝对值，

如果有些同学不知道如何表示它们的距离，

这里提示一下：根据点M和点Q的路程之和，AB、BC、CD三个线段综合，二者的差值即使MQ的长度。

建立等式解方程，

如果最后点Q在左侧的情况得到的时间t让点Q不在BC上了，那就需要舍去该情况。

具体的方法路径就这些，过程同学们自己搞定吧。