干货：高中物理动力学临界与极值问题解析

所谓临界问题，是指物体的某种状态恰能维持而又未被破坏的一种特殊状态，这是从量变到质变的哲学思想在物理学中的生动表现，这种分界线，通常以临界值和临界状态的形式出现在不同的问题中。解决这类问题时，应特别注意“恰好出现”或“恰好不出现”等条件。

极值问题是指研究动力学问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值，此类问题可分为简单极值问题和条件极值问题，其区分依据就是看有无附加条件限制。极值法解题，是一种重要的思维方法，在求解物理问题中常常用到，因此，必须熟练掌握这种解题方法。

一. 动力学中的临界问题

例1. 如图1所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A，槽的半径为R，且OA与水平线成α角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为m，木块的质量为M，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。

图1

解析：当木块加速度a=0时，小球受重力和支持力，支持力的作用点在最低处。当木块加速度逐渐增大，支持力的作用点移到A点时，小球将滚出圆弧槽，此状态为临界状态，小球受力如图2所示，由牛顿第二定律有

，得

，当木块向右的加速度至少为

时小球能滚出圆弧槽。

图2

当圆弧槽静止时，小球受到支持力的作用点在最低处，当圆弧槽的加速度逐渐增大时，支持力的作用点逐渐向A点靠近，当支持力的作用点在A处时，圆弧槽的加速度最大，圆弧槽加速度再增大，小球会从圆弧槽内滚出来。确定临界点，是求解此题的关键。

二. 动力学中的极值问题

例2. 如图3所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为

的斜面体上，斜面质量为

，斜面与物块间的动摩擦因数为

，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。（

）

图3

解析：（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F₁，此时物块受力如图4所示，取加速度的方向为x轴正方向。

图4

对物块分析，在水平方向有

竖直方向有

对整体有

代入数值得

（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F₂，对物块分析，在水平方向有

，竖直方向有

，对整体有

，代入数值得

。

综上所述可知推力F的取值范围为：

此题有两个临界条件，当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向下。找准临界状态，是求解此题的关键。