正方形半角模型常见结论总结

如图：正方形ABCD中，E、E分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°。

结论1:EF=BE+DF

结论2:C△CEF=2AB

结论3:S△AEF=S△ABE+S△ADF

结论4:AE，AF分别平分∠BEF，∠DFE

方法：将△ADF顺时针旋转90°，得到△ABF'

证明：△AEF'≌△AEF即可。

结论5:AI=AB（△AEF高为定值）由结论3可证明。

结论6:MN²=BM²+DN²

方法：将△ADN顺时针旋转90°，得到△ABN'

证明：△AMN'≌△AMN即可。

结论7:CE=√2DN，CF=√2BM，EF=√2MN

方法：△AEC～△AND，△AFC～△AMB相似比=√2⇒△AEF～ANM

结论8:S△AEF=2S△ANM（面积比=相似比平方）

结论9:△ANE，△AMF均为等腰Rt△

方法：易证△AMN～△BME⇒△NEM～△ABM

⇒∠NEM=∠ABM=45°

易证△AMN～△DFN⇒△MFN～△ADN

⇒∠MFN=∠ADN=45°（或用四点共圆，但教材有局限）

结论10:字母型、蝶型相似：△AMN～△BAN～△DMA～△BME～△AFE～△DFN

结论11:AB²=BN.DM

方法：由结论9，△BAN～△DMA可得

结论12:CE.CF=2BE.DF

方法：△BME～△DFN⇒BE.DF=BM.DN①

由结论7得：

CE.CF=√2DN.√2BM=2BM.DN②

结论13:A、B、E、N四点共圆，A、M、F、D，四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆。

结论14:BN-DN=√2BE，DM-BM=√2DF

方法：BN+DN=√2(BE+CE)

由结论7⇒BN+DN=√2(BE+√2DN)

∴BN+DN=√2BE+2DN⇒BN-DN=√2BE。

同理：DM+BM=√2（DF+CF）

=√2(DF+√2BM)

∴DM+BM=√2DF+2BM

⇒DM-BM=√2DF

结论15:当CE=CF，△AEF面积最小

方法：作△AEF外接圆，⊙N，连接NE，NF

取EF中点M，连接CM，NM

∴∠ENF=90°，设：CM=NM=x，

则：EF=2x，AN=EN=√2x

∴AN+MN+CM=(2+√2)x，当：A、N、M、C共线时，和取得最小值。x取得最小值

即：EF取得最小值时，CE=EF

由结论5可得，EF上的高，AI=AB

∴△AEF面积最小