小学奥数如何用“同余法”巧解难题，非常棒的解题技巧

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的，同余即余数相同。

它的定义是这样的：两个整数a、b，如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a、b对于模m同余，记作a≡b（mod.m），读作：a同余于b模m。

同余的性质比较多，家长指导孩子学习“同余法”，首先要熟悉 “同余”的这几个基本性质：

1.对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如：201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2.对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一 定能被这个除数整除。

例如：519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一 定能被这个除数整除。

3.对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如：20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。

4.对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余 （传递性）

例如：60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5.对于同一个除数， 若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）

6.对于同一个除数， 若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）

应用同余性质解题的关键是，在正确理解题意的基础上灵活运用同余性质。家长应让孩子把握住一个策略，把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的问题变简单，使困难的题变容易。

▊ 例题1：用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

【解析】假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a｜(412－133),a｜(412－257),a｜(257－133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。(155,124,279)=31,所以a最大是31。

▊ 例题2：249×388×234除以19，余数是几？

【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

因为249≡2（mdo19）, 388≡8（mdo19）,234≡6（mdo19）, 所以249×388×234≡2×8×6≡1（mdo19）

此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

▊ 例题3：求1992×59除以7的余数。 思路点拨：可应用性质2，将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。

解：∵1992≡4（mod 7），59≡3（mod 7）

∴根据性质5可得：1992×59≡4×3（mod 7），余数为12÷7的余数。

答：1992×59除以7的余数是5。

使用同余法解题，家长还可以让孩子记住一句口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍n倍加”。这是同余问题的口诀，孩子思考解题方法的时候念一念，对启发解题思路有帮助。