信号与系统实用总结
信号与系统是个比较抽象的课，因为它是用数学建模的方法去分析电路。
那么，我们把电路的现象结合信号与系统的理论指导，就会发现柳暗花明又一村。
1、什么是信号？什么是噪声？
比如，我们现在要用ADC采集50Hz的市电，发现如下图所示的波形。
没错，出来的波形并不是我们想要的光滑的50Hz正弦波，而是有一点奇葩的波形。
经过分析得到，奇葩的波形，是由50Hz正弦波和1KHz的正弦波叠加而成，但是1KHz的正弦波并不是我们想要的东西。
综上所述，你想要的东西就是信号（50Hz），不想要的东西（1KHz）就是噪声。当然，前提是你要清楚你想要的东西是什么。
BTW，信号不仅仅包含电信号，也包含声音、光、热、力等等。
2、什么是系统？
LM324这种运放，就是一个系统。我们不能知道它的内部构造，但是我们可以搭个电路，从外部去测量它的性能。
这就是信号与系统，最重要的思想。把系统当成一个黑匣子，测量外部的信号，从而评估系统的特性。
因为，很多时候，我们不需要知道系统的内部构造。
BTW，系统不仅仅包含运放，小到一个电容，大到整个电路板，任何我们想观察的事物，都可以称为系统。
3、什么是激励？什么是响应？
信号与系统最基本的研究方法就是，用信号发生器送信号到电路板，再用示波器去观察输出的波形。
这种操作，也就是送激励到系统，再观察响应。
如果利用信号发生器扫频的功能，再配合示波器，很容易就得到电路板的幅频特性和相频特性。这就非常有助我们去理解这个电路板的性能。
很多时候我们不关心系统的响应，只关心系统的稳定性。
也没那么多时间去扫频，而且扫频并不是十分方便。所以人们想到一个方法，利用一些频率成份特别丰富的激励去测试系统的稳定性（其中一个频率成份使得系统自激，就说明不稳定，如：运放等电路）。
最常用的激励有：冲激函数、窗函数和阶跃函数。
上图分别为冲激函数的时域图和频谱。显然，冲激函数的频谱是无限广，也就是包含无数个频率成分。
但是冲激函数在物理上不无法实现的。所以人们想到用一个精度足够高的窄脉冲代替冲激函数。这个窄脉冲就是窗函数了。
上图分别为窗函数的时域图和频谱。显然，窗函数的频谱也是无限广，但是更容易现实。
如果没法弄到窄函数，那么，在要求不是很高的情况下，用一个简单的开关动作去产生阶跃函数也是可以的。
上图分别为阶跃函数的时域图和频谱。阶跃函数的频谱也是很广的，虽然比不上冲激函数和窗函数。
4、什么是卷积？
卷积是一种积分，既然是积分，就会有先分割再叠加的操作。如下图所示。
那么卷积就是先把输入信号分割成若干个单位冲激信号，再作用于系统函数（即加权），最后再叠加。
把上图中步骤(1)~(5)的阴影部分累加起来，就得到输出信号。如下图所示。
于是，我们得到卷积的计算公式。
一看，发现没有冲激信号啊，其实上面的公式是一个简化后的公式，它把冲激信号隐藏起来了。
先看看冲激信号的筛选性质。如下图所示。
把一个信号分解成若干个冲激信号，再叠加，其实还是原来的信号，所以卷积中仍然使用h(t-τ)，
但是t-τ是冲激信号的延时性质遗留下来的，把h(t)延时τ就得到了h(t-τ)。
为什么要把信号延时、平移？
先延时再平移，才让输入信号和系统函数之间有交集，发生作用。否则的话，哪来输出？
02
前面延时t为变量τ为常量，现在平移τ为变量t为常量。
τ的取值范围是正负无穷，也就是说把h(t)从负无穷平移到正无穷，所以总能使用输入信号和系统函数产生交集，最终得到输出。
为什么要把信号翻转？
跟时间有关。
我们在图上看到的h(t)函数，把t由小到大排列是h(0)、h(1)、h(2)。。。
但是，细想一下哪个时刻最先出现？没错，是h(0)，所以才要把信号翻转一下，使得h(0)最先起作用。
所以利用图解法解释卷积时，一上来就把信号反转，让人有点奇怪。
卷积定理揭示了时域和频域之间的关系，是一个非常重要的定理，这里提一下。
5、什么是傅里叶级数？什么是傅里叶变换？
请认真地看《超炫酷的傅里叶变换的形象解释，绝对值得收藏！》。
这里不再重复。
BTW，一般的数字示波器都有一个FFT的功能，可以看到信号的频谱，这就非常有利于我们分析信号的频率成份。
6、什么是拉普拉斯变换？
在电学里面，拉普拉斯变换只是作为求解微分方程的一种简单方法，属于积分变换法。
拉普拉斯变换可以把复杂的微分方程转化为线性方程。
利用拉普拉斯变换可以求解各种复杂电路的响应，包含各种看起来很高大上、很复杂的运放电路。如下图所示。
但是，这么复杂的计算，可以用仿真工具来完成，如：multisim或者ADS等。
很多人认为拉普拉斯变换没用，其实是仿真工具用了。
熟练使用拉普拉斯变换，有利于理解电路的稳定性、响应，可以提高硬件设计能力。
7、什么是Z变换？
拉普拉斯变换适用于连续信号，但是计算机难以处理连续信号（无数个点）。
把连续信号采样后，再做z变换，所有的计算变成有限个点，这样才能送到计算机中处理。z变换也就是离散信号的拉普拉斯变换。
z变换和拉普拉斯在定义、性质上都是大同小异，这里不再重复。
特别需要指出，z的-1次方，其实就是对应于一个D触发器，可以延时一个时钟周期。
而z的2次方，是超前2个时钟周期，不易于用物理实现，那么，你可以把超前换成滞后（整个电路滞后3拍），就能转化为D触发器了。
作者：队长-Leader