经典再现30——三角形外的正方形(二)答案

题：如图1，分别以△ABC的边AB、AC为边长向外作正方形ABDE和ACFG，连接DF，点M为DF的中点，连接MB、MC，试判断△MBC的形状，并加以证明。

分析：欲知△MBC的形状，从已知入手探索边和角的特殊性。

注意到点M是DF的中点，联想到三角形中位线定理，再找中点与点M配成中位线。注意到四边形ABDE和ACFG都是正方形，它们的中心恰好是对角线的中点。因此，连接AD、BE相交于点P，连接AF、CG相交于点Q，再连接MP、MQ（如图2），则MP、MQ都是△ADF的中位线，所以MP∥AF，MP=1/2·AF=AQ，MQ∥AD，MQ=1/2·AD=AP，

所以四边形APMQ是平行四边形，

所以∠PMQ=∠PAQ=45°+45°+∠BAC=90°+∠BAC，

∠MPA=MQA，

在△PMB和△QCM中，

因为∠MPB=90°-∠MPA，∠MQC=90°-∠MQA，

所以∠MPB=∠MQC，

又因为PB=PA=QM，PM=AQ=QC，

所以△PMB≌△QCM，

所以MB=MC，

∠PMB=∠QCM，∠PBM=∠QMC，

所以∠BMC=360°-(∠PMB+∠QMC)-∠PMQ

=360°-（∠QCM+∠PBM）-∠PAQ

=360°-(45°+∠ACM+45°+∠ABM)-(90°+∠BAC)

=180°-(∠ACM+∠ABM+∠BAC)

=180°-（∠ABC-∠MBC+∠ACB-∠MCB+∠BAC）

=180°-（180°-∠MBC-∠MCB）

=∠MBC+∠MCB

=180°-∠BMC，

即∠BMC=180°-∠BMC，

所以2∠BMC=180°，

所以∠BMC=90°，

所以△MBC是等腰直角三角形。

（还有其他解法）