【初中数学】二次函数背景下的线段、面积及角度问题

与四位特级教师联手执教。

例1、（2018·山西）综合与探究

如图，抛物线y=1/3x^2-1/3x-4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

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例2、如图，直线y=0.5x+2分别交x轴，y轴于点A,点C.抛物线y=-1/2x^2+bx+c经过点A、C，与x轴的另一个交点为点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是直线上方抛物线上一点.

①连接BC，CD，直线AC交BD于点E，△CDE的面积记作S₁，△BCE的面积记作S₂，求S₁:S₂的最大值;

②过点D作DF⊥AC于点F，是否存在点D使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

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拓展：①是否存在点D使得△CDF中的某个角等于∠ABC的一半，若存在求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.

②是否存在点D使得△CDF中的某个角与∠BAC的和等于45°，若存在求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.