七彩数学课堂|讲堂--神奇的数字“3”第二部分--倍长中线及推论
hello，小伙伴们，我是你们亲切的张哥。
前一阵子张哥给大家分享了七彩数学课堂|神奇的数字“3”第一部分--勾股三角形
和七彩数学课堂|神奇的数字“3”第一部分--勾股三角形的应用，开启了我们的神奇的数字“3”之旅.今天张哥给大家继续讲解第二部分，倍长中线.
几何总是充满美感的，需要我们去发现，去欣赏，去探究.
对于倍长中线，从全等三角形开始，相信小伙伴都特别熟悉，老师在黑板上会说，倍长中线是全等三角形的一个非常重要的模型，我们在学习的时候一定要重点关注.但是，我们应当如何去认识倍长中线？倍长中线还有哪些结论？相信大多数小伙伴并没有去深入的思考.今天，张哥就带大家进入倍长中线的世界.
关于倍长中线，我们可以用一句话总结相关结论：“逢中点，便倍长，全等现，平行出”.我们从图形来理解这句话.
如图：已知△ABC，D是BC中点，则倍长AD至E，连接CE，则有△ABD≌△CED.
全等之后，根据对应角相等，得∠B=∠BCE，还可以得到AB//CE.
这就是倍长中线的基本模型.相信大部分小伙伴的学习也止步于此.但是，真的就到此为止了吗？
我们现在来思考一下，，倍长中线最关键的地方是什么？对，就是这个中点.有中点，就有了全等，有了全等，就可以得平行.所以我们脑洞大开一下，便得到了倍长中线三要素：中点、全等、平行.（第一个3出现了）
对于倍长中线而言，其逻辑过程是：
既然是倍长中线三要素，那么我们可不可以任意两个要素组合推第三个呢？在不知道的情况下，我们不妨来组合一下：
平行+中点→全等.
我们通过一个题来探究这个结论是否成立：
如图，四边形ABCD中，AD//BC，
∠ABC=90°，E为线段CD的中点，连接AE、BE，求证：AE=BE.
读完题，我们发现，中点有，平行有，全等嘛，好像没有……那是不是说这个结论就不成立了？不是.因为平行线是没有交点的，所以，我们要延长AE与BC交于F.这份辅助线我们把它叫做牵线搭桥.
证明：∵AD//CF
∴∠DAE=∠CFE
又∵∠AED=∠FEC
DE=CE
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∴在Rt△ABF中，BF为斜边中线
∴BF=AE
通过这一个例子，我们证明了这个结论是成立的，于是，我们得到了倍长中线的推论一：
我们继续组合，还能够得到倍长中线的推论二：
平行+全等→中点.
这个推论也是成立的，我们来证明一下.
如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，E是AD上一点，延长BE交AC于F.若AC=BE,AF=EF，求证：D是BC中点.
看这道题，平行没有，全等也没有，所以肯定是要作辅助线的.我们不妨走这样的一个思路：构造平行，证明全等，得到中点.要证明D是BC中点，那就一定要证明与D有关的三角形全等，所以，我们就作BG//AC交AD的延长线于G.如图所示：
∵AF=EF
∴∠FAE=∠FEA=∠BED
又∵AC//BG
∴∠FAE=∠G
∴∠BED=∠G
∴BE=BG
又∵BE=AC
∴BG=AC,BG//AC
∴△BGD≌△ACD
∴BD=CD，即：D为BC中点，得证.
既然是平行线，我们还有没有其他的方法呢？有.我们还可以作CH//BE交AD的延长线于H.如图：
证明方法类似，这里就不写了。
方法三：构造平行的第二种操作：垂直于同一直线的两直线平行.所以，我们还可以作BM、CN垂直于AD.如图：
这里最终的思路是证明△BMD≌△CND，就作为一个思考题，供小伙伴们探究.
下面是最终总结：倍长中线，三个要素，三种情况（第二次出现3）
倍长中线：中点→全等→平行.（辅助线：倍长） 推论一：平行+中点→全等.（辅助线：牵线搭桥） 推论二：平行+全等→中点.（辅助线：构造平行）
这，才是倍长中线正确的打开方式.
神奇的数字“3”，有它，数学更精彩.
放上一部分练习题，供大家研究：
最后说一下倍长中线两个推论的使用场景：
推论一是几何当中非常重要的一个结论，在八年级学习了平行四边形以后，推论一的考察真的是非常的多，因为四边形自带平行，所以，你懂的.比如下面的这个题：
题目告诉我们F是AD中点，再加上AB//CD，则根据推论一：平行+中点→全等.（辅助线：牵线搭桥），直接延长EF和CD相交即可.
推论二在全等三角形的证明中用得要多一些，后面考得不多，但是一考就比较致命，因为用太少了.所以我们还是要掌握推论二， 以备不时之需.
古建筑的美，是将几何元素应用到极致的效果.