模型 | 压轴题中的倍角问题梳理(优选)

一模压轴题链接
分析
首先映入眼帘的是上次所讲的“一线两角”,故结合外角可以得出一组新的等角:∠BAG=∠CEF。再结合已知∠ABC=2∠C,及BD平分∠ABC,得∠ABG=∠C=∠α,可以得到△ABG∽△ECF
【方法一】:平行线+角平分线⇒等腰三角形
【方法二】:化半角为倍角
【方法三】:化倍角为半角
本题主要通过两种方式构造辅助线:①平行线,角平分线,等腰三角形三者之间的关系,知二推其一,以角平分线为突破口,添加平行线构成等腰三角形。
②倍半角之间的转换,化倍角为半角,化半角为倍角,均是构造等腰三角形,将倍半角问题化为等角问题,为构造图形的相似或全等所缺另一组等角创造条件。
提炼倍半角构造辅助线图形
二模压轴链接
第(1)、(2)标准解析
第(3)问解析
角度推演
∵AB=AC,∴设∠ABC=∠ACB=α,设∠ABD=β
∴∠ABD=α-β、∠ADB=α+β=∠AQB+2β(两次外角)
⇒∠AQB=α-β
∴∠ABD=∠AQB⇒AB=AQ=4
【方法一】
以“AB=AQ”这一等腰为线索,构造三线合一,采取“双勾股”建立方程。
【方法二】
化倍角为半角:作倍角角平分线
转换成等角问题,为构造全等和相似作铺垫。结合“AB=AQ”这一等线段,∠ABD=∠AQB,此时可以将∠DAQ这个倍角化为半角,最后通过相似建立方程。
【方法三】
化倍角为半角:反向延长倍角一边1
【方法四】
化倍角为半角:反向延长倍角一边2
以上两种均是反向延长倍角的一边,∠DAQ这个倍角的两边分别是AD、AQ,反向延长,使之与另一边相等,构造等腰,将倍角化为半角。
【方法五】
化半角为倍角:半角翻折1
【方法六】
化半角为倍角:半角翻折2
【方法七】
化半角为倍角:半角翻折3
分析图形,知∠BAC=∠DBC=1/2∠DAQ,所以翻折半角,可以从此两个半角入手。分别把∠DBC向上、向下翻折;把∠BAC向左、向右翻折,向右翻折亦属解法一,构造角平分线。
【方法八】
化半角为倍角:作半角所在边的垂直平分线1
【方法九】
化半角为倍角:作半角所在边的垂直平分线2
【方法十】
化半角为倍角:作半角所在边的垂直平分线3
【方法十一】
化半角为倍角:作半角所在边的垂直平分线4
分析图形知∠BAC=∠DBC=1/2∠DAQ,∠BAC和∠DBC两个半角的两条夹边分别有2条,所以分别以每个半角的两条夹边作两次垂直平分线,那么共计有4种方法了。
中考压轴链接
上一贴分析过2010年上海市中考压轴的第三问,通过边角要素得出∠A=2∠P这个隐藏的倍半角的关系
图析
作倍角的角平分线
反向延长倍角一边
在处理倍角半问题时,主要还是化倍角为半角,化半角为倍角,将倍角问题转化成等角问题,为后续图形分析做好铺垫。在化倍角为半角时,常见方式:作倍角的角平分线或反向倍角一边,构造等腰;化半角为倍角时,常见方式:翻折半角或作半角所在边的垂直平分线。

来源:爱在数学、作者:郭庆明;转载请注明出处,如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误,请随时联系微信:ABC-shuxue处理/删除。

(0)

相关推荐