三角形（3）

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如果你仔细回忆一下就会发现，其实所有数学题解题的关键在于找到一些性质特别好的东西。这句话听起来不好懂？

当年关于光的本质在物理学就吵吵了几百年，惠更斯说光是波，牛顿说光是粒子，当然因为牛顿比较牛叉所以粒子说在很长一段时间内占据了上风。但是最终德布罗意一锤定音：为什么不能既是粒子又是波？

对啊，为什么你就要把数量关系和位置关系割裂开来呢？难道就不能既考虑数量关系又考虑位置关系么？

于是再来一条线叫中垂线，也叫垂直平分线。我们知道中垂线一定经过线段的中点，所以有数量关系；这个中点同时也是垂足，所以有数量关系。你看这样对数学的认识就上去了。所以像这样能把多种性质集于一身的特殊的线，肯定是我们研究的重点，也是加辅助线时优先考虑的对象。

这个过程其实也告诉我们加辅助线的原则，就要找那些能把隐藏的性质激发出来，或者把一些好的性质集中起来的线找出来，最终把题目解决。在这个思路的指引下，我们还把隐藏的第四条线给找出来了。在后面我们会发现，性质越多的线，解决问题的能力也就越大。

接下来我们来分别看看关于这四条线的作用。

首先我们来看什么是中线。我们把三角形中的一个顶点和其对边的中点连起来，这就是中线。我们第一反应就是中线可以把三角形分成两块面积相等的小三角形——当然，这是小学生的视角，初中生应该怎么去看这个问题呢？

我们用一个经典的例子来说明该怎么学习中线的性质。

在这里，我们默认已经学过三角形的全等。不专门讲全等是因为全等实在没什么值得单独讲的地方，只要注意“对应”两个字，全等就算过关了。

无论是SSS也好，SAS也好，还是ASA也好，你只要把对应的边和角找到就行，而且一定要注意书写的顺序：比如△ABC全等于△EFG，那么两个三角形中相同位置的字母代表的角是相等的，相同位置的两个字母代表的线段长度是相等的。

请注意：我只说全等三角形没什么好单独讲的，并没有说全等三角形不重要。事实上，无论是作为升学考试还是竞赛，全等都是非常重要的技巧。就好像让你只吃盐不吃其他任何东西，你能下咽么？但是你做菜少的了盐么？全等三角形就是三角形学习中的盐，关键就是看你怎么把全等用出来，理论实在单薄的很。

例1  已知△ABC中，AD是边BC上的中线，求证：AB+AC>2AD.

如果是高，由垂线最短马上就可以知道这是对的，但是中线怎么处理？

我们能直接得到的结论就是BD=CD，其他的？没了。然后就没有然后了，这是常态，你也不用羞愧地把头扭向一边，这都不是事儿，关键是要学会怎么思考。

平面几何学到三角形的时候，我们几乎没有学过不等式的结论，都是相等的结论。从平行线开始，内错角同位角都是相等的，全等三角形你听听这名字就知道那都是相等的，有没有什么不等式相关的结论？

有，三角形两边之和大于第三边。

华山难上么？说难也难，说不难也不难，因为就一条路，你上也得上不上也得上。既然你只有这一个不等式的结论，你说要不要用？

但是怎么用呢？我们只能得到AB+AC>BC啊，而BC和2AD显然不一定相等啊！

怎么办？

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