哪种几何才是真的（下）
——非欧几何与现代数学的“公理”（下）
我们在《哪种几何才是真的（上）》中介绍了大家所熟知的欧几里得几何，以及人们从两千多年来对平行公里的质疑与研究中发现的两种非欧几何——罗氏非欧几何、黎曼几何。
在我们面前摆出了这样的问题，三种几何学在逻辑上都能自圆其说，那么，
对纯数学家来说，这个问题好解决。三种都是真的。这就怪了，怎么可能三种都是真的呢？它们是彼此矛盾的呀？三角形的内角和，到底是大于180°，小于180°，还是等于180°，只有一个是对的呀！
原来，纯数学家所说的真，是指不论哪种几何，只要它的公理公设成立，它的定理就成立。这么说，所谓真，不过指的是其逻辑上不自相矛盾而已。
这当然不能令人满意，进一步问，哪种公理公设是真的呢？
数学家这时会反问，你怎么解释公理公设中的术语的意义呢？如果对直线、点等术语不加解释，不知道它们是什么，就不存在公理公设是真是假的问题。数学家经过两千年的折腾，开始想通了，几何体系是个抽象系统，如果对其中的原始术语不给以指定的意义，就无所谓真假问题。
但数学家这样回答问题，就忽略了哲学上最有意义的问题：如果按通常的意义来理解几何术语，哪种几何是真的？
这样把问题提得更加明确之后，非欧几何的出现就不足以动摇欧几里得几何的地位了。我们仍可以说，欧几里得几何中“直线”的性质，才是与现实空间相符合的，与我们的经验一致的。而另两种几何，虽然逻辑上相容，但其中所说的“直线”，在我们看来，并不直。
对欧几里得几何真实性的最严重的挑战不是来自非欧几何，而是来自爱因斯坦的相对论。按照相对论，在引力场中，如果把光线看成直线，则三角形内角和大于两直角。如果把拉紧了的线当作直线，也是一样的。不过，三角形要足够大，边长是天文距离时，才能测量出三内角和与180°的差别。在地球上，是测不出来的。
如果我们把直线理解为光的路径，理解为拉紧了的绳子，那么只好承认黎曼几何才是真的。爱因斯坦就是这么个看法。
但前面提到过，直的标准有好多条，原来大家以为这些标准是一致的，现在发现不一致了。如果认为“直线是两点间唯一的最短路线”，特别是认为“圆周率一定是π”才表明半径是直的，那就只好认为，光在引力场中走的是曲线，在引力场中绳子拉不紧，等等。这时，欧几里得几何必然成立。但是，这是因为我们选择的“直”的标准正好是欧几里得几何所要求的。
相对论动摇了欧几里得几何的地位，但没有否定欧几里得几何。它只是要人们在两种几何中做出选择，你要哪种几何？
如果你要欧几里得几何，可以，好处是数学上的简单。在牛顿力学中也适用。在地球上是符合经验的，只是这种几何体系中相对论的物理语言变得麻烦了。光线走的是曲线，等等。
你也可以选择黎曼几何。它适于描述广义相对论所说的空间现象。在地球上它与欧式几何在经验上也是一致的。
两种几何哪个是真的？甚至可以连罗巴切夫斯基几何也在内，三种几何哪个是真的？我们可以把它看成这样的问题，华氏温度计告诉我们体温是100°，而摄氏温度计告诉我们体温是36.5°，哪一个是真的？
现在，物理学选择了黎曼几何，但这并不妨碍中学生照样学他们的欧几里得几何。正如华氏摄氏两种温度计都在使用一样。
上图为黎曼曲面
两千年间，数学家对公理的看法有了巨大变化。
从前，公理被认为是自明之理。自明之理哪里来的呢？唯心理论者认为是人的先天洞察、上帝给人的启示，唯物论者认为公理来自人对客观世界规律性的认识，是经验的总结升华。二元论者认为，公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果。但有一点是共同的；公理是真理，相对真理或绝对真理。总之，公理是不必再加证明的命题。
数学家们总是受各种各样哲学观点支配的。即使他不知道哲学家在干什么，他也有自己的哲学观点。数学家也倾向于认为公理应当是自明之理，是真理。只有从真理出发，才能得到真理。
现在，数学家看法变了，没有什么自明之理。即使有，也不必要求数学公理是真理。数学公理是对数学对象的性质的约定。什么是直线，直线就是满足我的这几条公理的某种东西。满足欧几里得公理，叫欧式直线；满足罗巴切夫斯基公理，叫罗氏直线，等等。
公理对不对，这种问题对数学家是没有意义的。数学家只说，如果某一些对象适合这些公理，它一定也适合于从公理推出的定理，在这个意义上，数学定理总是对的。就如同中国象棋中“单车难破士象全”总是对的一样。它依赖于下棋的规则。
但也不是随便几条凑起来便可以作为公理。首先，公理不能自相矛盾，也不能推出自相矛盾的东西。这叫做公理的相容性或协调性。其次，讲究节约，任一条公理不应当能从别的公理推出来。能推出来，就作为定理算了，何必作为公理呢？这叫做公理的相互独立性，还有一条叫公理的完全性，就是在这个系统中，一切命题的真假都是可以确定的。不过，一般来说，有了前两条，也就可以了，甚至有人认为独立性也不重要，最重要的是相容性。
对公理看法的这种进步，大大解放了数学家的思维。现代数学中各种公理系统层出不穷。谁也不说谁的公理不对。不过，有些公理系统很有用，很受欢迎。有些公理系统没什么用，“束之高阁，并不实行”，建立之后渐渐被人们忘了，甚至没有人注意它。
数学家也是人，也要吃饭、穿衣，靠社会供养。他自然希望自己的研究于人类有用。尽管他在逻辑上有建立任何能够自圆其说的公理系统的权利（数学就是这么任性），但他总还会想到“有什么用”的问题。这样，实际上被数学家重视的公理系统中的公理，总是在一定程度上反映了人们在社会实践中的经验，或代表了人类向某一未知领域探索的愿望，在这个意义上，公理也就不完全是人们任意的约定了。