对称化构造与带绝对值函数的零点问题

这个导数题与上一篇文章中的圆锥曲线题目是同一张试卷上的，集中了零点定理找点，对称化构造，带绝对值函数的零点问题三个比较困难的考点，对于绝大部分学生都是很大考验，因此基础薄弱的同学并不是很适合看这篇文章。先看题目：

(I)(i)问不想拿满分比较容易，但是想拿满，就不那么容易了：

这里没有用分离变量做，原因就是假如使用分离变量，应用零点存在定理时寻找特殊点时相当恶心，假如不考虑找特殊点，那么分离变量也很好。

书归正传，我们先将a的范围缩小到负数，之后再进行讨论，这是常用的讨论技巧之一：

如果是不严格的做法，那么到这里就算结束了，因为显然x趋近负无穷时,φ(x)趋近正无穷,x趋近正无穷时,φ(x)也趋近正无穷，因此只要φ(x)极小值点小于0，总是存在两个零点。但以高考的标准严格来说，我们需要找到几个特殊点来确定这两个零点是存在的，其中左边的零点比较好找，φ(-2)>0，φ(-1)<0，难点就在于右边，直观的找法要借助放缩才可以，比较容易证明：当x>0的时候，e^x>x^2，因此φ(x)>x^2+ax+2a，这样特殊点就好找了：

上面过程中其实一共用了两个放缩，一个是x>0时e^x>x^2，其次我们为了说明2-a>ln(-a)，还借助了放缩lnx≤x-1，上面过程中把这两个放缩的证明过程略掉了，读者注意自行补全。

总之要有应用零点定理的有关过程，步骤才算完整。接下来看(ii)问，显然这三个极值点有一个是0，因此我们相当于证明φ(x)的两个零点之和大于-2，这是一个典型对称化构造模型：

我们相当于证-2-x1在区间(x1,x2)内，通过φ(x)的单调性可知φ(x)当且仅当在(x1,x2)上为负，因此就可以把问题变为证明φ(-2-x1)为负了：

(II)问本质上没有多难，但很多同学对于绝对值的有关内容实在掌握的不好，算是知识点空白，因此就显得无所适从，已知条件通过一个简单的转化，会容易处理得多：g(x)=|f(x)|-m有n个零点，等价于y=f(x)与y=±m共有n个交点。

上面应用了放缩e^x≥ex，没有写证明过程，需要补齐过程时，x≤0的情形显然成立，而x>0的情形实际上可以利用(I)问中放缩时已经证明过的lnx≤x-1来证明：

这样就不用再构造新函数了。